Math 从4x4齐次变换矩阵中删除旋转

我正在处理一个变换矩阵，我想做的是删除旋转变换并保留缩放、平移等

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我该怎么做？我正在寻求创建一个手动编程的解决方案。

您需要使用仿射矩阵分解，有几种方法有不同的优缺点。你得调查一下。这里有一些链接可以帮助您入门：

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这可能更简单，也可能更复杂，这取决于变换的性质，我假设它是仿射的。但是如果它是线性/刚性的，那么这就容易多了，如果它是透视变换，那么我想它会更复杂。

如果你确定你的矩阵是旋转+平移+缩放，那么你可以只提取你需要的参数：

rotation = atan2(m12, m11)
scale = sqrt(m11*m11 + m12*m12)
translation = (m31, m32)

编辑 我没有注意到你对3d变换感兴趣，在这种情况下，旋转部分很烦人，但是如果你只想平移和缩放

translation = (m41, m42, m43)
scale = sqrt(m11*m11 + m12*m12 + m13*m13)

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4×4齐次变换矩阵定义如下：

| x2 |   | R11*SX R12*SY R13*SZ TX | | x1 |
| y2 | = | R21*SX R22*SY R23*SZ TY | | y1 |
| z2 |   | R31*SX R32*SY R33*SZ TZ | | z1 |
| 1  |   | 0      0      0      1  | |  1 |

其中

（SX、SY、SZ）

是缩放因子，

（TX、TY、TZ）

是平移系数，而

Rij

是旋转系数

由于您选择了最后一列，因此获取翻译非常简单。要获得缩放，请使用以下属性：变换是旋转乘以对角线缩放（

a=R*S

），因此

tr(A)*A = tr(R*S)*(R*S) = tr(S)*tr(R)*R*S = tr(S)*S

其中

tr（A）

是转置运算符。要获得缩放因子，请计算

S2 = tr(A)*A

然后选择前三个对角线项的平方根

SX = sqrt(S2(1,1))
SY = sqrt(S2(2,2))
SZ = sqrt(S2(3,3))

然后将新转换组装为：

| SX   0   0  TX |
|  0  SY   0  TY |
|  0   0  SZ  TZ |
|  0   0   0   1 |

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到目前为止，我不喜欢任何解决方案。3x4（或4x4）仿射变换首先在目标帧中应用旋转，然后应用平移。该变换中的最终列向量是平移，但在目标帧中，而不是原始帧中！因此，如果我们进行逆变换，那么我们可以将最终的列向量作为原始帧中的平移

以下是我是如何做到的（在numpy）：

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如果只有平移、缩放和旋转-那么可以通过提取平移和缩放组件并将它们相乘来移除旋转，而忽略剩下的部分…你的缩放是否假设每个方向上的缩放一致？情况可能并非如此，即图像可能是stretched@Dan：对于“恼人的”我的意思很简单，用自由坐标表示旋转的“本质”就像在2D中一样好是不可能的（参见万向节锁问题）。关于缩放请注意，如果允许非均匀缩放和旋转，则闭包会变得更一般，旋转角度的概念也会变得有问题，即使远离奇点缩放=0。是的，问题在于矩阵不限于均匀缩放，而是3D的。

b_to_a = np.linalg.inv(a_to_b)
a_to_b_only_translation = np.eye(4)
a_to_b_only_translation[:,3] = -b_to_a[:,3]