Math 在存储器中保持精确的波形

假设我有一个程序，可以计算时间

t

时正弦波的值。正弦波的形式为

sin（f*t+phi）

。振幅为

1

如果我只有一个

sin

术语，一切都很好。我可以随时轻松计算值

t

但是，在运行时，当波形与其他波形组合时，它会被修改<代码>正弦（f1*t+phi1）+正弦（f2*t+phi2）+正弦（f3*t+phi3）+……

最简单的解决方案是创建一个包含

phi

和

f

列的表，遍历所有行，并对结果求和。但对我来说，一旦我达到数千行，计算速度就会变慢

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有没有其他的方法？就像将所有正弦组合成一个语句/公式一样？

有不同的基（基的复数形式），对于表示不同的波形是有利的（即紧凑的）。最常见和最著名的是你提到的，通常称为傅里叶基。例如，Daubechies小波是一种相对较新的加法，它比傅里叶基更好地处理更多的不连续波形。但是这确实是一个数学主题，如果你在math Overflow上发表文章，你可能会得到更好的答案。

如果你有一个傅里叶级数（例如，对于某些f，fúi=

i f

），你可以使用，它比计算所有正弦要快得多（但它的精确度可能稍低）

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在你的情况下，你可以考虑以下顺序：

f_k = exp( i ( k f t + phi_k) ) , where i is the imaginary unit.

请注意，

Im（f_k）

=

sin（k f t+phi_k）

，这是您的序列

也

因此您有

a_k=exp（i phi_k）

。您可以预计算这些值并将其存储在数组中。为了简单起见，从现在开始假设

a_0=0

现在，

exp（i（k+1）ft）=exp（ikft）*exp（ift）

，所以

alpha\uk=exp（ift）

和

beta\uk=0

现在可以应用递归公式，C++中你可以做这样的事情：< /P>

complex<double> clenshaw_fourier(double f, double t, const vector< complex<double> > & a )
{
    const complex<double> alpha = exp(f * t * i);

    complex<double> b = 0;

    for (int k = a.size() - 1; k >0; -- k )
        b = a[k] + alpha * b;

    return a[0] + alpha * b;
}

复数克伦肖-傅立叶（双f，双t，常数向量&a）
{
常数复α=exp（f*t*i）；
复b=0；
对于（int k=a.size（）-1；k>0；--k）
b=a[k]+α*b；
返回a[0]+alpha*b；
}

假设

a[k]==exp（iφk）

答案的实部是cos（kft+phi_k）之和，而虚部是sin（kft+phi_k）之和

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正如你所看到的，这只使用加法和乘法，除了只计算一次的

exp（f*t*i）

。

它们的计算效率会差不多吗？如果你的函数是平滑的正弦函数，傅里叶基是最好的。如果你有锐利的边缘，你需要使用小波。小波压缩（或近似，如果你愿意）可以快得令人眼花缭乱。还有其他的事情。你能详细说明你的答案吗？我特别不明白我怎样才能满足这个条件

complex<double> clenshaw_fourier(double f, double t, const vector< complex<double> > & a )
{
    const complex<double> alpha = exp(f * t * i);

    complex<double> b = 0;

    for (int k = a.size() - 1; k >0; -- k )
        b = a[k] + alpha * b;

    return a[0] + alpha * b;
}