Math 对于已知的解析函数，高斯求积总是一个好的选择吗？

高斯求积的局限性是什么？我知道，如果我在积分，例如，一个数据集，高斯求积将不是最好的选择，但是如果我知道函数的解析性，会有很大的局限性吗？Wolframathworld说，对于一个已知的解析函数，高斯总是比牛顿-科茨求积好，即使对于更复杂的函数，这也是真的吗

在过去的几天里我搜索了很多。因为我主要解决物理问题，所以我总是知道积分函数的解析形式。在学校，他们更多地关注牛顿-科茨公式，但我认为它太慢了。最近我尝试了高斯-勒让德求积来积分一个包含多项式、指数函数和第二类修正贝塞尔函数的函数。我将结果与一些Newton Cotes公式进行了比较，结果似乎很好，速度也快了很多，但我仍然不知道我是否能够始终相信高斯求积，尤其是对于更复杂的函数，还是会有一天它会让我大失所望

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还有一个问题，使用特定的高斯求积有什么好处吗？例如Gauss-Laguerre，或者我会用积分极限变化和Gauss-Legendre求积得到相同的结果吗？

高斯求积的定义特征是它精确地将多项式积分到给定的阶数。这样的想法是，对于“接近”多项式的函数，它可能也能起到很好的作用。程度越高，该方法将功能与尖锐特征集成得越好。然而，如果函数具有不连续性、极点、高度振荡或在其他方面与多项式不同，高斯求积将失败

如果你的函数可以被分割成看起来像多项式的片段——这对你有好处！你只需要对这些部分应用高斯求积。（自适应积分器就是这样做的。）

例如，高斯-拉盖尔，或者我会用积分极限变化和高斯-勒让德求积得到相同的结果吗

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同样，“高斯”实际上只意味着“精确到某个多项式次数”。勒让德和拉盖尔整合了不同类型的功能；赫米特是另一种类型。

这是一个有趣的问题，但被认为是离题的。也就是说，高斯求积法是多项式近似法，牛顿-科茨法也是如此，所以它们在本质上没有太大区别。Gauss-Kronrod格式是一种与Newton-Cotes格式在本质上相似的自适应格式。QUADPACK是一个实现GK的Fortran库，它已经被移植到许多环境中，尤其是Python。我已经多次使用QUADPACK并取得了很好的成功。祝你好运，玩得开心。@RobertDodier对不起，我不知道把我的问题放在哪里最好，我想这在硕士学位考试中是离题的。我看了一下Gauss-Kronrod求积，它看起来非常好，因为它也适用于性能不太好的函数。因此，我认为作为一种更通用的集成规则，它可能会更好。我以后一定会试试的。不用担心。对于讨论不同算法的优缺点，并没有一个好地方。它和任何地方一样好，但我认为主流观点是它离题了。不管怎么说，这没什么大不了的。我不认为“在分析上被了解”是“好的可积性”的一个有意义的标准，不管是什么方法。sin1/x在解析上是已知的，但对于数值积分来说却是一场噩梦。