Math 如何检查m n大小的向量是否线性独立？

免责声明
严格来说，这不是一个编程问题，但大多数程序员不久或以后都要处理数学（特别是代数），因此我认为这个答案在将来可能对其他人有用

现在问题解决了
我试图检查n维的m向量是否是线性独立的。如果m==n，您可以使用向量构建一个矩阵，并检查行列式是否为！=0但是如果m 有什么提示吗

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另请参见。

构建向量矩阵（每个向量一行），并在此矩阵上执行一次运算。如果任何矩阵行被抵消，则它们不是线性独立的

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简单的情况是当m>n时，在这种情况下，它们不能线性独立。

构造一个矩阵

m

，其行是向量，并确定

m

的秩。如果

M

的秩小于

M

（向量数），则存在线性相关性。在确定

M

秩的算法中，您可以在获得一行零后立即停止该过程，但将该算法运行到完成时还可以提供向量生成集的维数。哦，确定

M

的秩的算法仅仅是高斯消去法

注意数值不稳定性。参见数字配方第二章开头的警告。

如果

m零行或零列，正交化=>零向量，奇异值分解=>零奇数）

但是，请注意，对于程序员来说，这个问题是一个不好的问题，对于程序来说，这个问题是一个不好的问题。这是因为如果计算能力不是问题，那么最好的方法可能是找到矩阵的奇异值。基本上，您需要找到
M'*M
的特征值，并查看最大值与最小值的比率。如果比率不是很大，则向量是独立的。
检查m行向量是否线性独立的另一种方法是，当放入大小为mxn的矩阵m中时，计算

det(M * M^T)

i、 e.mxm方阵的行列式。当且仅当M有一些依赖行时，它将为零。不过，高斯消去法通常应该更快。
我最近一直在研究这个问题

以前，我发现了一些关于高斯或高斯-乔丹消去的算法，但这些算法大多只适用于平方矩阵，而不适用于一般矩阵

要申请通用矩阵，最好的答案之一可能是：

您可以在各种语言中找到伪代码和源代码。
至于我，我把Python源代码转换成C++，导致上面链接中提供的C++代码在我的模拟中是某种复杂和不合适的。
希望这对你有帮助，祝你好运对不起，我错了


以上链接中提供的源代码结果是错误的，至少我测试过的Python代码和我已经转换过的C++代码都不能生成正确的答案。（而对于上面链接中的示例，结果是正确的：）--）
要测试python代码，只需将
mtx
替换为

[30,10,20,0],[60,20,40,0]

返回的结果如下所示：

[1,0,0,0],[0,1,2,0]

尽管如此，我还是找到了一条出路。就在这一次，我把MATALB源代码转换为代码> > ReFF < /C>函数到C++。您可以运行matlab并使用
type rref
命令来获取
rref
的源代码

<>注意，如果您使用的是一些非常大的值或很小的值，请确保在C++中使用<代码> long double < /COD>数据类型。否则，结果将被截断，并且与matlab结果不一致

我一直在ns2中进行大型模拟，所有观察到的结果都是可靠的。
希望这将帮助您和任何其他遇到此问题的人…
一种非常简单的方法，也不是最有效的计算方法，就是简单地删除随机行，直到
m=n
，然后应用行列式技巧


m
：删除行（使向量更短），直到矩阵为正方形，然后

m=n
：检查行列式是否为0（如您所说）
m
（向量的数量大于其长度）：它们是线性相关的（始终）


简而言之，原因是
mxn
方程组的任何解也是
nxn
方程组的解（您试图解
Av=0
）。有关更好的解释，请参见，这比我能解释得更好。
您能更好地解释您的解决方案吗？我应该对什么执行高斯消去？假设你有2个向量（23）（46）。它们映射到以下方程组：
2x+3y=a
和
4x+6y=b
。如果你尝试用高斯消去x，你会得到
0x+0y=2a-b
。零表示这两个向量不是独立的。对
M
和
N
进行概括。因此这至少有
O（N^3）
复杂性（取决于我们的度量方式）。你知道有没有（可能是随机化的）
O（n^2）
算法吗？我能用这个高斯消去法进行部分旋转吗？是的，但不是每个独立集附近都有一个依赖集。是的，但这仅仅意味着依赖集上算法的每个输出都有点虚假。你确定它是转置而不是共轭转置吗？你能给出关于随机移除向量分量的方法的参考吗？你如何定义“不是很大”？