Math 找出不同的写作方式的数量'；1'；作为分数的总和，每个分数都带有'；1'；作为分子和'的幂；2'；作为分母

我得到一个数字

n

，我必须找到不同的方法的数量，将数字

1

作为

n

分数的总和，其中每个分数具有以下格式：

• 分子总是1
• 分母是2的幂（例如2^1、2^2等）

---

两种将

1

写成此类分数总和的方法，如果它们包含相同的分数，则不存在差异。例如，假设

n=4

。将

1

写成

4

分数总和的一种方法是：

1/2+1/4+1/8+1/8

。但是将其写成

1/8+1/4+1/2+1/8

被认为是相同的（因为它包含完全相同的分数，只是顺序发生了变化），因此与第一种书写方式相比没有区别。因此，对于

n=4

而言，只有两种方法可以将

1

写成4个分数的总和。第一个是

1/2+1/4+1/8+1/8

（上面提到的那个），第二个是

1/4+1/4+1/4+1/4

。因此结果将是

2

。

n

的边界是：

2我建议你从玩几轮游戏开始。但如果你停不下来，别怪我

你的总和列表有一个最小的2−K你可以将你的总和按2k的比例缩放，使所有的数字都成为整数，实际上是二的幂。这可能会使思考这个问题变得更容易。现在把求和看作是对二进制数的一种运算，例如

   0100
   0100
   0100
   0010
   0001
+  0001
= 10000

开始添加最低的整数。肯定有两个。否则你就不能把最后一点归零。如果n=1，则为该规则的例外情况，即您只有一个和。所以你可以把两个最小的数字相加，得到一个两倍大的数字。然后继续，直到达到一个数字。如果需要，可以对二进制分数执行相同的操作，以避免缩放步骤

所以这里一个重要的不变量是，你可以用这样一种方式添加项，它们仍然是2的负幂。添加的序列将形成一个二叉树，节点的值由深度表示：根有1，下一级有1/2，下一级有1/4，依此类推。每个节点要么是一个具有零个子节点的叶节点，要么是一个具有两个子节点的内部节点。你感兴趣的是具有N叶的二叉树，但是如果树在每个级别上都有相同数量的叶子，则认为它们是相等的。
要开始递归思考，如何从一棵有n片叶子的树变成一棵有n+1片叶子的树？将一对子项添加到现有叶中。让我们编写一些python代码

def扩展（v）：
对于范围内的i（透镜（v）-1）：
如果v[i]：
产出元组（如果j==i else x，则x-1+2如果j==i+1 else x
对于枚举（v）中的j，x）
产量v[：-1]+（v[-1]-1，2）#开始一个新的水平
s=set（[（1，））#从裸根开始
对于范围（1,21）内的n：
打印（{:4d}:{:10d}）。格式（n，len（s）））
s=集合（y代表x，s代表y代表展开式（x））

然后，进入并输入您辛苦获得的序列。搜索将列出一个命中，描述为

1到n次方1/2的分区数

宾果。不幸的是，它没有一个封闭的公式。但是有一个为n=2000预先计算的值列表。下面是一个shell脚本，通过查找以下内容来确定任意给定n的结果：

wget-qO-'http://oeis.org/A002572/b002572.txt“|尾-n+${n:？}|头-n1 |切-d”'-f2

如果你想要一个更严肃的答案，我建议你遵循OEIS上引用的参考资料。或者试着理解一下函数

v

，它被描述为

v（c，d）是将d划分为形式为d=c+c1+c2+…+cn的正整数的数目，其中c1≤ 2. c、 ci+1≤ 2. ci

用于Mathematica、Maple和Pari中的一些神奇的动态规划

那么连接在哪里呢？要回答这个问题，请从考虑叶节点切换到考虑内部节点。如果有n个叶节点，那么就有d=n−1内部节点。v（1，d）是通过按层划分内部节点的数量来计算排列这些内部节点的方式。您需要在根节点上有一个内部节点，除非您的n=1没有被考虑在内。每个后续层至少可以有零个内部节点，最多是前一层内部节点数量的两倍

除了角点情况，基本递归是

v(c, d) = sum(v(i, d-c) for i=1..2*c)

因为如果d=c+c1+c2+…+cm，那么这对应于d−c=c1+c2+…+cm，因此需要对

d-c

进行分区，其中

i

=c1介于0和2之间 C这可以用于一个很好的动态编程实现。以下是计算d=20，即n=21时所需的所有值：

---

“我觉得我必须使用动态编程”-为什么？还有，你到底试过什么？我看不到code@Fureeish我已经说过我试着用斐波那契序列从序列中提取答案，但结果证明是错误的。发布错误的代码有什么意义？除此之外，我没有尝试过其他方法，因为我不知道如何解决这个问题。我需要一个主意。这就是为什么我问这个问题。“发布错误的代码有什么意义？”-这样我们可以帮助您检查代码的错误。粘贴您的代码，解释思考过程，然后我们将能够看到您在实现中可能出现的错误。当然，除非你证明你的算法和整个想法是错误的。更重要的是，堆栈溢出不是一个人们会为您找出算法的地方。这是一个特定编程问题的地方。这里没有“关于如何开始解决这个问题的任何想法”之类的问题。

v(c,d)   c=1   c=2   c=3   c=4   c=5   c=6   c=7   c=8   c=9
 d= 1:     1
 d= 2:     1     1
 d= 3:     2     1     1
 d= 4:     3     2     1     1
 d= 5:     5     4     2     1     1
 d= 6:     9     7     4     2     1     1
 d= 7:    16    12     7     4     2     1     1
 d= 8:    28    22    13     7     4     2     1     1
 d= 9:    50    39    24    13     7     4     2     1     1
 d=10:    89    70    42    24    13     7     4     2
 d=11:   159   126    76    43    24    13     7     4
 d=12:   285   225   137    78    43    24    13     7
 d=13:   510   404   245   140    78    43    24    13
 d=14:   914   725   441   251   141    78
 d=15:  1639  1299   792   452
 d=16:  2938  2331  1420   812
 d=17:  5269  4182  2550  1457
 d=18:  9451  7501
 d=19: 16952 13458
 d=20: 30410