Types Agda：形成所有对{（x，y）| x in xs，y in ys}

我想知道在Agda中实现列表理解或笛卡尔积的最佳方法是什么

我有两个向量，

xs

和

ys

。我想要（非正式的）集合{（x，y）| x in xs，y in ys}

我可以很容易地使用map和concat形成此集合：

allPairs :  {A : Set} -> {m n : ℕ} -> Vec A m -> Vec A n -> Vec (A × A) (m * n)
allPairs xs ys = Data.Vec.concat (Data.Vec.map (λ x -> Data.Vec.map (λ y -> (x , y) ) ys  ) xs )

从这里开始，我想为巴黎找个证人，比如：

pairWitness : ∀ {A} -> {m n : ℕ} -> (xv : Vec A m) -> (yv : Vec A n) -> (x : A) -> (y : A) -> x ∈ xv -> y ∈ yv -> (x , y ) ∈ allPairs xv yv

我不知道如何构造这样一个证人。据我所知，我失去了太多的向量的原始结构，无法使用归纳法

我在想

在标准库中是否有处理这种“所有对”操作的东西，已经证明了引理是这样的

如果没有，我该如何着手构建配对证人

我上传了所有正确的导入，使您更容易使用代码

这里重要的是查看运行

allPairs

时获得的最终向量的结构：获得具有精确模式的

m

大小

n

块

• 第一个区块列出了由

  xv

  的头部以及

  yv

  中的每个元素组成的对

• （……）

• 第n块列出了由

  xv

  的第n个元素以及

  yv

  中的每个元素组成的对

所有这些块都是通过连接（

\uu++\uu

）来组装的。为了能够选择一个块（因为您要查找的

x

在其中）或跳过它（因为

x

在更远的地方），您将引入中间定理，描述

\++

和

之间的交互_∈_

您应该能够知道如何选择一个块（如果
x
在这个块中），它对应于这个简单的中间引理：

_∈xs++_ : {A : Set} {x : A} {m : ℕ} {xs : Vec A m}
          (prx : x ∈ xs) {n : ℕ} (ys : Vec A n) → x ∈ xs ++ ys
here     ∈xs++ ys = here
there pr ∈xs++ ys = there (pr ∈xs++ ys)

但是你也应该能够跳过一个块（如果
x
离得更远），它对应于另一个引理：

_∈_++ys : {A : Set} {x : A} {n : ℕ} {ys : Vec A n}
          (prx : x ∈ ys) {m : ℕ} (xs : Vec A m) → x ∈ xs ++ ys
pr ∈ []     ++ys = pr
pr ∈ x ∷ xs ++ys = there (pr ∈ xs ++ys)

最后，一旦选择了正确的块，您可以注意到它是使用
map
创建的，就像这样：
Vec.map（λy->（x，y））ys
。好的，您可以证明的一件事是，
map
与会员资格证明兼容：

_∈map_xs : {A B : Set} {x : A} {m : ℕ} {xs : Vec A m}
           (prx : x ∈ xs) (f : A → B) → f x ∈ Vec.map f xs
here     ∈map f xs = here
there pr ∈map f xs = there (pr ∈map f xs)

现在，您可以将所有这些放在一起，通过归纳证明
x来产生证人∈ xs
：

pairWitness : {A : Set} {m n : ℕ} (xv : Vec A m) (yv : Vec A n)
              {x y : A} -> x ∈ xv -> y ∈ yv -> (x , y) ∈ allPairs xv yv
pairWitness (x ∷ xv) yv here  pry = pry ∈map (λ y → x , y) xs ∈xs++ allPairs xv yv
pairWitness (x ∷ xv) yv (there prx) pry = pairWitness _ _ prx pry ∈ Vec.map (λ y → x , y) yv ++ys

另一种方法是将证据分成两部分。第一部分是
x∈ xs->y∈ ys->（x，y）∈²xs×ys
，其中
返回矩阵而不是向量。第二个是
x∈²xss->x∈ concat xss
。两者都
_∈_和
_∈²
可以用
任何
来表示，因此我认为还有进一步推广的余地。如果我在写一个库，我会选择这种方法，但对于简单的练习来说，这可能有些过头了。顺便说一句，解析包含ASCII符号序列的mixfix运算符并非易事，比如
xs
in
_∈map_xs
。我有点困惑。。。问题是什么∈ 在“有”的情况下两两如何？我以为它是一个类型构造函数，所以在值位置看到它时我很困惑。它来自这个mixfix标识符：
_∈_++ys
。我试着给引理命名，强调它们正在做的事情，但是由于在SO中没有语法突出显示，所以很难阅读。我建议下载要点并在emacs中查看。如果你愿意，我也可以用重命名的引理编辑我的答案。