Algorithm 求极小函数

好吧，就这么定了。我有一堆线性函数，a*x+b

我的目标是回答以下问题：x=q的最小函数是什么

例如：如果我有函数f（x）=3*x+2，g（x）=5*x-6和h（x）=2*x+1，我将回答例如：

• 对于x=4，函数h

• 对于x=2，函数g

• 对于x=1，函数g

我的想法是这样的：

按x的系数按降序对函数进行排序

按递增顺序对查询进行排序

去掉并行函数，保留常数项最小的函数（例如：如果我有f（x）=2*x+4和g（x）=2*x+2，f（x）永远不会小于g（x），所以我不需要f（x））

现在我在从-inf到某个实数的区间上，称之为w1，我知道在这个区间上，线性系数最高的函数是最小的

通过查找最小的x1 s.t.f（x1）=g（x1）来查找w1，其中f是我的当前函数，g使用较小的线性系数，对所有其他函数进行迭代，w1=x1

只要我的查询在间隔（-inf，w1）内，就重复此操作：输出当前函数，然后继续下一个查询

如果我仍然有需要回答的查询，那么让当前函数在x=w1处与我的实际当前函数相交，而不是-inf put w1，重复相同的步骤

然而，我的实现或想法不够快。有没有什么我没有注意到的东西可以加速我的程序

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提前谢谢。

您能不能先解决它们的交点，然后在域中存储每个区间的最大函数

编辑- 更详细地说，如果要为x解任意一对函数，那么x表示这两个函数中的一个大于另一个的值。有可定义的区间，其中最小函数对于区间中的所有值都是相同的

下面是3个示例函数的曲线图。

该图的区间（带有相应的最小函数）为

(-∞, 7/3]     => 5x - 6
(7/3, ∞]      => 2x + 1

现在，在运行时，您只需执行“q属于哪个区间”，而不是“x=q的最小函数是什么”

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如果我没弄错的话，如果你有N个线性函数，你最多可以存储N-1个区间。而且，如果你真的有很多函数要分析，你可以使用专门的数据结构来存储和搜索区间。

如果我理解正确，你的解决方案是对所有函数进行一些预处理，以便将

x

的域分为多个范围，在每一个这样的范围内，你知道什么是最小函数

实际上有两个阶段：“准备”和“查询”（给定一个特定的

x

你给出结果）

你的瓶颈是什么

自然地，“查询”阶段要快，你应该将你的范围组织成一种排序数组，这样你就可以在对数时间内通过中值搜索（或类似搜索）找到包含给定

x

的范围。如果这是你所做的，而且这还不够快-考虑代码级优化，因为从算法的角度来看，这似乎是最理想的解决方案。 如果您的瓶颈是“准备”阶段-这里有优化的机会。据我所知，您可以找到所有函数对的交点（在去掉并行函数后）。这并不是真的必要

考虑以下几点。首先，按系数对所有函数进行排序（较高的系数在开头）。去掉并行函数。接下来，在遍历函数的同时构建范围数组

由于当前函数的系数最低（在已经分析过的函数中），因此当

x

趋于无穷大时，当前函数将是最小的函数。所以它的范围应该是从一些

x0

到无穷大。找到

x0

。从数组中选取最后一个范围（属于先前处理的函数），并找到该函数与当前函数的交点。前一个范围缩小到

x0

。如果该范围变得无效（范围开始大于

x0

）-表示该功能完全模糊。在这种情况下-删除该范围，然后重复该步骤

为了让事情更清楚，我将编写一个伪代码：

rangeArr

是成对的数组

F，X

，而

F

是功能描述，

X

是功能范围的开始。功能范围的结束被视为下一个范围的开始，最后一个功能范围的结束被视为+无穷大

for each F sorted by coefficient
{
    double x0;

    while (true)
    {
        if (rangeArr is empty)
        {
            x0 = -inf;
            break;
        }

        FPrev = rangeArr.back().F;
        xPrev = rangeArr.back().X;

        x0 = IntersectionOf(F, FPrev);

        if (x0 > xPrev)
            break;

        rangeArr.DeleteLastRange();
    }

    rangeArr.InsertRange(F, x0);
}

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你能解释一下“每个间隔”是什么意思吗？我相信如果你检查每个交叉口，建立这些间隔将花费

N^2

。函数与查询的比率是多少？这将给出一个什么样的预计算是合理的想法。