Algorithm 渐近符号图的解释

我目前正在学习一门算法课程，我遇到了下图

我很难理解f（n）代表什么，g（n）意味着什么，以及c和n0意味着什么。此外，我想知道它们是如何与边界概念相关的，以及这意味着什么

---

大多数教程一开始只是解释上述术语是如何关联的，而不是它们的含义

想象一下您编写了一个程序来对列表进行排序。您的程序输入一个列表，执行一段时间的计算，然后输出一个排序的列表

“big-O”表示法

f（n）=O（g（n））

是比较两个函数

f

和

g

的一种方法

在处理数字时，您习惯于进行比较，例如“x 在处理函数时，我们有几种不同的比较方法。例如，你可以说“函数f总是比函数g小”，你可以这样正式地写：“forall n，f（n） 然而，这种比较有点极端。在您的问题中显示的图表上，紫色函数并不总是小于蓝色函数。但您可以注意到，它只在n的几个小值中更大。所以说“在几个初始值之后，函数f最终变得比函数cg小”或者正式地说“存在一个数字n0，使得对于所有n>n0，f（n） 现在，我们最初想要比较的函数是f和g，而不是f和cg。然而，也许我们不关心乘法常数；也许我们只关心f（n）在n增加时的行为，以及g（n）在n增加时的行为。例如，你可能注意到，当n是10倍大时，f（n）大约是100倍大。这意味着f（n）大致与n^2成正比。对于我们来说，f是等于n^2+5还是等于7*n^2+2*n+12并不重要。对我们来说重要的是，它大致与n^2成正比

所以大O表示法给了我们一种比较两个函数f（n）和g（n）的方法，同时忽略了乘法常数，忽略了f（n）和g（n）的值，对于小的n值

f（n）=O（g（n））

通常意味着“存在一个值n0和一个乘法常数c，只要

n

大于n0，

f（n）

就会小于

cg（n）

此定义与算法的复杂性分析相关。假设您编写了一个对列表进行排序的算法。让我们调用f（n）对

n

项列表进行排序时，您的算法所需的最大操作数。您想证明您的算法是有效的。您想做出诸如“f（n）=O（n^2）之类的陈述，这大致意味着“如果列表的大小乘以10，那么执行时间将乘以不到100”。这并没有给出确切的运算次数——可能是f（n）=4n^2，或者可能是f（n）=（n^2-n）/2。但谁在乎确切的数字呢。重要的是，如果列表长10倍，则执行时间最多将长100倍