Algorithm O（n^2）对O（n（logn）^2）

时间复杂度是

O（n^2）

还是

O（n（logn）^2）

更好

我知道当我们简化它时，它会变得

O(n) vs O((logn)^2)

---

和

logn

n

，但是

logn^2

呢？

对于每个常数

k

渐近

log（n）^k

证明很简单，只要记录等式的两边，就可以得到：

log(log(n))*k < log(n)

log（log（n））*k

很容易看出，渐近地，这是正确的


语义注释：假设这里
log（n）^k==log（n）*log（n）*…*log（n）（k次）
和NOT
log（log（…log（n）））…（k次）
，因为有时也会使用它。
O（n（logn）^2）对于大n更好（更快）

从两侧取原木：

对数（n^2）=2log（n）

Log（n（logn）^2）=Log（n）+2log（Log（n））=Log（n）+2log（Log（n））

lim n-->无穷大[（对数（n）+2log（对数（n））/2log（n）/]=0.5（使用l'Hôpital规则）(http://en.wikipedia.org/wiki/L“H%C3%b4基本规则）]
（logn）^2
也是
n

例如：

 n = 5
 log n = 0.6989....
 (log n)^ 2 = 0.4885..

您可以看到，（长n）^2进一步减少

即使你取了更大的数值，比如100000000，那么

   log n = 9
   (log n)^ 2 = 81

远远小于
n
n对于n小于0.49的值，它仅小于（对数n）2

因此，一般来说，（log n）2对于较大的n

但由于这些O（something）-符号总是省略常量因子，在您的情况下，可能无法确定哪种算法更好

下面是一张图表：


（蓝线为n，绿线为（对数n）2）

请注意，n的小值的差异并没有那么大，可能很容易被未包含在big-O表示法中的常数因子相形见绌

但是对于大的n，（log n）2轻而易举地获胜：

（Log n）^2更好，因为如果按exp m对n进行变量更改，那么m^2比exp m更好
O（n^2）与O（n*Log（n）^2）
O(n^2) vs. O(n*log(n)^2)
<=> O(n) vs. O(log(n)^2) (divide by n)
<=> O(sqrt(n)) vs. O(log(n)) (square root)
<=> polynomial vs. logarithmic

O（n）对O（log（n）^2）（除以n）
O（sqrt（n））与O（log（n））（平方根）
多项式与对数

对数获胜。
log（100）n==5
是一个糟糕的例子。试试一百万。对数n=13.8155，它的平方是190.8683。请记住，O（N的某些函数）处理的是N的大值。@amit我在示例中使用了偶数。我已经在更新答案了。@cHao我已经用了一个更大的数字，我认为这已经足够好了。我相信OP在（log（n））^2之后，而不是log（n^2）你是对的：log（n（log（n）^2）=log（n）+log（log（n）^2）=log（n）+2（log（log（n））
注意，对于微小的n值，绿线是如何向上延伸到无穷远的。
渐近性不是关于某个事物是否向无穷远发展，而是关于它向无穷远发展的速度。
log（n）^2
也向无穷远发展。@phant0m我想指出的是
（log n）^2
对于n的小值也可以无穷大，而不仅仅是大值。但这更像是一个纯粹的数学观察，因为n通常不小于1……我将去掉这条线。它实际上没有添加任何有用的东西。。。