Algorithm 给定一个有N个定义点的圆和圆外的一个点M，在N.O（LogN）集合中找到离M最近的点

我试图找到解决这个问题的办法。但是我没有成功。。谁能给我一个关于如何处理这个问题的提示吗

我要2对，每个2分。也就是说，我会做两个和弦。找出它们的垂直平分线。使用这些平分线，我将找出圆的中心

此外，我将给出圆的方程。找到点M和圆的交点。。。这应该是最近的点。但是，该点可能存在也可能不存在于N个点的集合中

---

谢谢

假设圆周长上的点“有序”（即按围绕圆中心的角度排序），可以使用基于角度的二进制搜索，该搜索应达到

O（log（n））

边界

计算从点

M

到圆心的角度

A

，

O（1）

使用二进制搜索查找圆周上最大角度小于

A

-

O（对数（n））

的点

I

因为圆是凸的，所以距离

M

最近的点是

I

或

I+1

。计算到两者的距离，取最小值-

O（1）

---

为了找到最接近M的点，我们需要基于平面切割进行点的二进制消去。需要对输入点进行一些预处理，然后我们可以在O（lgn）时间内找到最接近任何给定点M的点

计算（如果未给出）以（r，θ）格式表示的点的极坐标，其中r是距离中心的距离，θ是距离x轴的角度，范围为（-180180）

按与x轴成角度的递增顺序对所有N个点进行排序

请注意，对最靠近M的点进行简单的二进制搜索在这里不起作用，例如

• 如果对给定点进行排序，使θ=（-130，-100，-90，-23，-15,0,2,14170），则对于θ=-170的点M，二进制搜索将给出-130（40度）作为最接近点，而170（20度）是最接近点
• 如果我们在排序时忽略符号（认为它将产生正确的输出），我们新的排序数组将看起来像θ=（0,2,14,15,23,90100130170），对θ=-6的点M进行二进制搜索将得到结果应该是2或14，而在这种情况下，0是距离M最近的点

要使用平面切割执行搜索操作

• 找到穿过圆心并垂直于圆心与点M连接线的平面切割线
• 消除圆平面[90+θ，-90+θ）或[-90+θ，90+θ）的一半，具体取决于平面M的一半所在的位置
• 使平行于第一个切面的平面切口穿过前一个平面的中间点，并消除在远离M的平面的一半的所有点，直到在较近的平面的一半没有留下点，在这种情况下消除平面的近一半。
• 继续切割平面，直到剩下一个点。该点是距离M最近的点。整个操作需要O（lgn）步

---

如果数据倾斜且在圆中分布不均匀，我们可以优化平面切割，使每个切割穿过中间带（基于角度）搜索操作中剩下的几点。

这似乎是一个略微开放的问题。候选人可能会问一两个问题。那么你想到了什么？因为日志（N）需要的是，我感觉到，在一个比较中，我应该能够减少至少一半的分数。否则，我就无法接近这个问题的答案。提示：考虑一行上的n个点，以及一个点m，也在行上。有一个log（n）吗？解决方案？我可以尝试二进制搜索。但我似乎不知道如何在这里应用它。：（我明白了。我之前以为我有一个反例。对不起。首先不是需要O（n log n）才能将数据按θ排序吗？（可能这个问题有误导性，我们实际上被允许将其视为一次性成本，可以在多个点上摊销。）@GarethRees：是的，如果点最初是无序的，您必须对它们进行排序（这将是

O（nlog（n））

）.我认为这些观点是按顺序给出的。因为这是一个面试问题，我想你可能会在当时与他们讨论这些想法。。。