Algorithm 可能存在错误比较器的排序算法分析？

这是一个有趣的面试问题，我没有通过。

数组具有不同的元素[A1..A2….An]（随机顺序）

我们有一个比较器C，但它有一个返回正确结果的概率p。

现在我们使用C实现排序算法（任何种类、气泡、快速等）

排序后我们有[Ai1，Ai2，…，Ain]（可能是错误的）

现在给出一个数字m（m

{A1，A2，…，Am}和{Ai1，Ai2，…，Aim}之间的交集的大小S的期望值是什么，换句话说，什么是E[S]

m、n和p之间有什么关系吗

如果我们使用不同的排序算法，E[S]将如何变化

我的想法如下：

当m=n，E[S]=n时，肯定

当m=n-1时，E[S]=n-1+P（Ain中的An）

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我不知道如何填写答案，但我认为可以通过归纳法来解决我认为任何模拟方法都可以。

Hm，如果A1、A2、…、An是随机顺序（如问题中所述），那么所有排序和比较器C的正确性概率实际上并不重要。然后将问题归结为{A1，…，An}的两个随机子集的交集长度的期望值

S为k的概率为

（mk）*（（n-m）（n-k））/（nm）

，其中

（ab）

应表示“a大于b”，即从

a

元素中选择

b

元素的可能性数量。（因为对于第二个子集，我们必须从第一个子集中选择

k

元素，从其余的子集中选择

m-k

元素。）

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E[S]是修改后问题的

和（0部分答案：


假设Ai1，…，Aim与初始（随机）数组开始不相交，而是与正确排序的数组Aj1，…，Ajn的前m个值相交。（这似乎更有趣）
让我们进一步假设比较器C是非确定性的
为了简单起见，我们假设所有数组元素都是不同的，n=2^n

现在这里的部分答案首先限于


m=1
排序算法=合并排序

Aj1是最小的元素。在合并排序中，每个元素被比较ld（n）=n次。当且仅当最小元素在其ld（n）=n次比较中变小时，才会将其排序到第一个位置。因此概率p（Ai1=Aj1）=p^n，它等于m=1时请求的E[S]。因此我们得到

E[S] = p^ld(n)

这是一个部分的答案


m=1
排序算法=冒泡排序，首先将最小的元素放在适当的位置

如果最小的元素在开始时位于位置k（Ak=Aj1），则需要进行max（k-1,1）正确比较才能将Ak带到前面（Ak=Ai1）。由于所有n个开始位置的概率相等，因此我们得到

E[S] = P(Ai1=Aj1) = 
     = P(Ai1=Aj1|Aj1=A1)*P(Aj1=A1) + ... + P(Ai1=Aj1|Aj1=An)*P(Aj1=An) =
     = 1/n (p + p + p^2 + ... + p^(n-1)) = 1/n ((1-p^(n-1))/(1-p)+p-1) =
     = (2p - p^2 - p^(n-1)) / (n(1-p))

一般情况下祝你好运！
如果你在这里没有得到答案，可以试试，或者算符是确定性的？例如，对于a和b和
a，结果很大程度上取决于排序算法。如果p<1/2，那么通过增加算法的运行时间，你可以任意提高排序的正确性（只需将每个比较充分重复多次）这个问题不是更精确吗？@kkamilpl我相信比较法对于概率p是正确的，所以，双方都是正确的（>或@vib是的，这将取决于选择的排序算法，因此我们可以选择冒泡排序和合并排序作为第一次尝试。概率确实重要吗？仍然存在一定的正确排序概率。我看不出概率p有什么关系。据我所知，A1，…，An是随机顺序的。在“排序”之后它们的顺序不同，与起始顺序无关，但仅取决于比较器C（也可能取决于排序算法）。如果将Ai1，…，Ain与正确的顺序进行比较，情况会有所不同。但将Ai1，…，Ain与随机开始顺序进行比较。另一种看法是：是的，比较器的概率p影响结果顺序Ai1，…，Ain。但p不影响计算E[s]所需的概率p（s=k）。当比较器是确定性的时，这是无关紧要的，因为Ai1，…，Ain不依赖于初始阶数A1，…，An（也不依赖于排序算法），因此这两个子集是独立的。如果比较器不是确定性的，则结果阶数取决于初始阶数（和算法），但我仍然认为，例如，P（A1=Ai1）=1/n，即与P无关。对：我们真的在与初始随机数组进行比较吗？我以为我们是在与正确排序的数组进行比较，但@coproc是对的，这不是当前问题所说的。但问题不是很有趣。