Algorithm 图中两节点间最短路径的判定？

如果加权有向图

G

（可能有负边）上两个顶点之间的最短路径显示为

D（u，v）

，则以下声明总是错误的

有负边，但没有负循环，那么 D（u，v）（所有顶点对的和）上的σ不能为负

什么是

D（u，v）

在没有从u到v的路径的情况下，我的 注意，但我认为在这种情况下，

D（u，v）=0

如果有负边，但没有任何负循环，那么D（u，v）（所有顶点对的和）上的Sigma不能为负

D（u，v）=0无弧
u->v
考虑有向图：

1 -> 2 -> 3

每个弧的成本
-1
：没有负成本周期，但所有对的总和为负。所以这个说法是错误的，因为我们找到了一个反例

D（u，v）=无限大，无弧
u->v

在这种情况下，如果我们想找到一个反例，我们必须考虑一个在所有结点对之间都有路径的图，否则总和将是正的，因为我们将增加一个无限量。
考虑从节点
x
到节点
y
的成本为负的路径。那么从
y
到
x
的路径成本必须是正的，并且
D（x，y）+D（y，x）
不是负的，否则我们将有一个负循环，这是不允许的

由于每个负成本路径都必须有一个正成本（返回路径+初始路径），因此该语句在这种情况下是正确的。
假设
D（u，v）=无穷大
，如果没有从
u
到
v
的路径（我真的看不出有任何理由假设相反，在这种情况下假设
D（u，v）=0
），这种说法是正确的

证明：

首先，假设每对
u，v
都有一条路径，否则所有对的总和都是无穷大，我们就完成了

对于每对顶点
u，v
：


如果
D（u，v）>0
和
D（v，u）>0
这一对为求和贡献正数
否则，在不丧失一般性的情况下，假设
D（u，v）=0
，从而
D（v，u）>=-D（u，v）
。正如我们所看到的，
D（v，u）+D（u，v）
为求和贡献了一个非负数

由于上述情况适用于每一对
u，v
——因此，没有一对能产生负数，且总和不能为负数

QED
如果没有从
u
到
v
的路径，通常被称为
D（u，v）=无穷大
，但这是定义依赖性的，如果我们使用无穷大，这句话可能是真的@好吗？我不知道，我可以尝试证明或找到反例，但这取决于这个问题的答案。如果在U-V之间没有路径的代码＞D（u，v）＝0＜/代码＞，只有负重边的DAG清楚地回答了要求，但这对ME来说似乎是奇怪的假设。因此，请通过回答@ AMIT <代码> D（3，1）＝无穷大< /代码>考虑两种情况，因此所有D（i，j）的和不是负的。（但它是无穷大，这在很大程度上是一个正数）1）假设没有路径=无穷大或0？我们如何证明？另一个问题出现了，如果我们没有任何负循环，那么对于每两个顶点u，v，δ（u，v）等于-无穷大？这是假的？@AnjelaDark什么是δ（u，v）

？它是如何定义的？D（u，v）表示δ@amit@AnjelaDark我不是在问这个问题-如果我们没有负循环，怎么可能D（u，v）=-无穷大？Sorryyyy，请原谅我：）如果我们有负循环，那么对于每个两个顶点，u，v，δ（u，v）等于-无穷大？这是假的吗？

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