Algorithm 最优座位安排算法

一排有二十五个酒吧凳子。进入酒吧的顾客遵循以下两条规则：

客户总是坐在离其他客户最远的座位上

客户永远不会坐在另一位客户旁边

根据这两条规则，你应该把第一位顾客放在哪里，这样最多的顾客可以坐在酒吧里

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我可以在25个大便的情况下解决它。但我无法找出n个大便的通用算法。

听上去，这几乎与Randall Munroe撰写的优秀分析（I.C.U.p.）完全相同，包括一个封闭式方程和一个最佳小便次数图。你应该先读他的文章，然后再读其余的答案

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在文章中，Randall提到：

[一] 如果你进入一个浴室，一排排的空小便器数量令人尴尬，而不是端部的小便器，你可以走三分之一的路。这将把尴尬的一行分成两个最佳的一行，将最坏的情况变成最好的情况

虽然他没有说得更详细，但这暗示了我们正在努力做什么。如果我们的小便器（或大便，在我们的例子中）数量太多，我们可以尝试让第一个人坐在一个座位上，使他们成为两个不同的最佳分组的末端

对于7个座位，基本选择行为如下：

1 _ _ 3 _ _ 2

留下四个空位。但是如果我们让第一个人坐在第三个位置，我们得到了最佳的3和5个子组，使我们可能的乘客增加了一个

3 _ 1 _ 4 _ 2

对于25，基本行为类似次优，导致9/25的入住率低于尴尬：

但我们可以让某人坐在第9位，创建最佳的9 17个子组，如下所示：

3 _ 8 _ 5 _ 9 _ 1 _ 10 _ 6 _ 11 _ 4 _ 12 _ 7 _ 13 _ 2

实现13/25的最佳入住率

更一般地说，我相信找到比座位数更小的最大最佳数量，并让第一个人坐在那里（在25个案例中，即17个，相当于从另一个方向看第9个），将始终使可占用的椅子数量最大化。在最坏的情况下，如25，这相当于Randall提到的

ceil（n/3）

在一般情况下（使用基本座位行为既不是最好的，也不是最差的），我们不可能总是通过只让第一个人就座来达到50%的入住率，因为我们只能创建一个最优子组，而让另一个子组的入住率低于最优值。因此，我们采用最大最优子群，以最小化次优座位数。例如，对于20个座位，我们选择17个，创建一个17-4组，这将优化尽可能多的座位，一行中只剩下两个空位：

2 _ 7 _ 4 _ 8 _ 3 _ 9 _ 5 _ 10 _ 1 _ _ 6

实际上，从技术上讲，这四个组是最好和最坏的情况，但希望你能看到这种模式的规模。

以下是我的分析

为了论证，假设第一个人坐在中间的某个地方，而不是太靠近任何一端。这将给我们一个这样的模式，其中x表示一个有人的座位和一个空闲的座位：

_ _ _ ... _ x _ ... _ _ _

坐在此人左侧的第一位客户将坐在最左侧。同样，第一个坐在右边的顾客也会坐在最右边。这就给我们留下了这样一个模式，其中-m-表示m个连续的空闲座位：

x _ -m- _ x _ -n- _ x

称之为“基本配置”，总座位数s=m+n+7

好的，现在我们的问题被分成两个子问题，大小分别为m和n，每个子问题都将由一个尽可能靠近每个区域中间的客户来完成

对于最大最终入住率，我们希望m和n为“理想”数字，定义如下：

a is ideal if a = 2b + 3 and b is ideal  (i.e., we will get -b- _ x _ -b-).

这里的想法是，（1）占据a的中间位置，（2）递归求解大小为b的两个子问题，可以最大限度地占据理想数量的座位

最不理想的数字是1

由此，我们可以建立前几个理想数字：

1, 5, 13, 29, ...

现在，对于s=25，我们的基本配置是25=m+n+7，我们希望m和n是理想的。好吧，25-7=18和18=5+13，这是理想的

因此，对于25个座位，我们坐在座位4+5=9或4+13=17的第一人，并且我们保证以最大的入住率结束

在我们结束之前要检查的最后一件事是：如果第一位顾客坐在一个凳子上怎么办？然后，在第二位客户坐下后，我们将

x _ -m- _ x

其中m必须是一个理想数。对于25个座位，这将给出25-4=m=21，这并不理想。因此，第一位顾客不能坐在任何一端，最多只能坐25个座位

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太好了

当你真正画这幅画时，你会发现答案很简单。 例如，在以下情况下，您可以轻松地从左侧、右侧或中间选择座位

例如，1 OOO--XOX--1

例如，2 OOOOO--xoox--XOXOX--从3分解为1

例如，3 ooooooooooo--xoooooox--xooooxoxoxoxox--XOXOXOXOX--从7分解为3到1

从这些例子中，我们可以做出以下陈述： 假设我们在两个选定座位之间有一个自由座位范围，当这些自由座位的数量N=2^N-1时，我们可以得到该范围内的最大座位选择

证明：

基本情况：当n=1时，n=1，即XOX满足要求

假设n为1时为真，这意味着当两个选定座位之间的空闲座位数为n=2^k-1时，我们可以达到最大选择。对于k+1的情况，我们将有N=2^（k+1）-1。然后我们可以选择这个范围内的中间座位，将自由座位分成两个部分，每个部分的数量为N'=（N-1）/2=（2^（k+1）-1-1）/2=2^k-1，这在我们的假设中是正确的

所以这个问题的算法是：

给定座位数N，找出2^N-1

x _ -m- _ x