Algorithm 是否有一种有效的方法来计算给定线段集之间的交点数？

假设在一般位置有n条线段。我如何快速计算，对于我的n段中的每一段，它与其他n-1段相交的数量

我可以在O（n2）时间内天真地做到这一点。我可以使用一个非常简单的扫描线算法（Bentley Ottmann）在O（（n+k）log n）时间内找到所有交叉点，其中k是此类交叉点的数量，然后将我找到的交叉点聚合为一组计数

不过，我不需要找到十字路口；我只是想知道有多少。我不知道如何修改扫描线算法使其更快，因为它需要为每个交叉点重新排列树中的两个东西，而且我想不出任何其他技术不会遇到相同的问题

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我还对如何计算总交叉口数感兴趣。

我很难相信在一般情况下你能比宾利·奥特曼做得更好。如果不关心线段在哪里相交，可以稍微简化计算，但我不知道如何计算交叉点而不找到它们

本质上，Bentley Ottman是一种简化交叉口搜索空间的方法。还有其他方法，可能适用于线段的特定排列，但除非线段之间存在某种可预测的几何关系，否则您将无法比首先使用某种聪明的方法找到候选交点，并对每个候选交点进行单独验证

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除非您的问题域有一些特定的特性，可能会提供可利用的子结构，否则我认为您最好的速度选择是采用Bentley Ottman（或类似的扫描算法）进行并行执行。（将线段裁剪成条带很简单。找出一组最佳的条带也会很有趣。）当然，这是一个实践而非学术练习；并行算法最终可能会做更多的工作；它只是利用硬件在（恒定因素）更短的时间内完成工作。

我相信扫描线方法可以被击败，这不太困难。考虑到可以计算左端点全部具有x坐标0和右端点都具有x坐标1的n个线段之间的交点数目；这正是阵列中求逆的经典问题。所以，至少在某些特殊情况下，我应该能够寻找这种子结构并以某种方式加以利用。@tmyklebu，当然，如果有一个可利用的子结构，你可以很容易地加以利用。但你必须先知道。您可以在

O（n）

中轻松地检查单位平方的情况，但是如果您没有充分的理由相信它是可能的，那么这将是愚蠢的。（类似地，对于其他特殊情况，如凸多边形集合），此类情况不是“一般情况”。B-O可以很好地处理多边形集合的情况，因为它可以通过较少的实际交点来加速。B-O可以很好地处理只有很少交点的情况。当我有一堆多边形时，我仍然能想出一些粗略的例子（画出一整堆以同一点为中心但以随机角度旋转的等边三角形）。可利用的子结构是……问题的关键。：）Chazelle的一篇论文（“报告和计算路段交叉口”）似乎使用了这种垂直分解思想，并声称我的问题有一个O（n1.695）时间算法，但它似乎依赖于一个非常不切实际的数据结构。总比没有强。对于10^6，n^2和n^1.695之间的差值约为70:1。因此，要使这样的算法实用（假设一百万条线段在正常问题域中），它必须在其内部循环中做不少于70倍的工作。据我所知，Welzl的工作是该解决方案的基础，主要成本是共轭树的构建，但可能我弄错了。查找比遍历四叉树要复杂得多，但这只是一点代数。我认为这是一个非常有趣的学术活动。玩得开心。。。。