Algorithm 有向图的所有顶点都存在路径吗？

给定G，一个有向图，是否有一条路径（不一定是简单路径）穿过G中的所有顶点

我首先需要检查无环图和强连通图中发生了什么，然后使用强连通分量图为一般图找到一个解决方案

到目前为止，我已经发现，对于强连通图，总是有一条路径。对于非循环图，如果有多个源，则路径将永远不存在。此外，如果存在一个D out大于1的顶点，则路径将永远不存在

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问题是，我不确定最后一个是正确的，如果它是错误的，我的算法是错误的。

最后一个假设是不正确的，例如，看看图

G=（V，E）

，其中

E={（V_I，V_j）| I

图显然是一个DAG。因此，找到最大强连通分量不会改变图。另外-图有一个哈密顿路径，但是

d_out（v_1）>1

[假设

|v|>3

]

然而，你在正确的轨道上

高级伪代码中的算法：

在图中找到最大强连通分量 生成的图形是DAG

对结果图1使用拓扑排序

检查有序排序是否创建了哈密顿路径

如果为-return true，否则返回false

声明：

当且仅当DAG表示 图的MSCC具有哈密顿路径

索赔证明：

如果存在这样一条路径，则将其设为

v0->v1->…vm

。
让我们把

V_i

表示为

V_i

所在的最大强连通分量。
现在，对于原始图形

v0->v1->…->vm

中的路径，MSCC图形2中也有一条路径：

V_0->V_1->…->V_m

。
请注意，如果

V_i

在上述路径中出现两次[或更多]——这两种情况彼此相邻，否则发现的MSCC不是最大的，因为如果

V_i->V_k->…->V_i

是可行路径——那么V_i和V_k不是最大的，因为可以将它们合并成一个更大的SCC。
现在，对于每一个

V_i

将所有发生的事情折叠成一个，你就得到了一条路径-每个

V_i

最多出现一次[我们刚刚说明了原因]，而恰恰是一个[因为每个

V_i

都在原始路径上，我们没有完全删除MSCC的-只是折叠它们]。
因此，生成的路径是MSCC图中的哈密顿路径

建议公式正确性证明：
因为我们显示了MSCC图中的哈密顿路径存在当且仅当原始图中存在请求的路径-那么：
->
算法返回true->算法在DAG中找到一条哈密顿路径->在DAG中有一条哈密顿路径[foot note 1]->在原始图形中有一条请求的路径。
算法没有在DAG中找到哈密顿pat->DAG中没有哈密顿路径[脚注1]->原始路径中没有请求的路径

Q.E.D.

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1：在DAG中，如果存在哈密顿路径，则存在唯一的拓扑排序，如果存在哈密顿路径，则是拓扑排序中顶点的顺序。因此，在DAG中，找到哈密顿路径是很容易的。

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2：实际上，这是一个小小的修改，

V_i->V_i

在MSCC图上并不是一条真正的边，但现在让我们把它表示为一条边。

你是在问如何解决这个问题吗？或者，如果最后一个假设是正确的[提示：它不是，例如，

E={（v_i，v_j）|i

，有这样的顶点，

d_out（v）

>1，并且仍然有一条路径穿过所有顶点-甚至是哈密顿路径]是的，我不确定最后一个，你确认了。。所以我现在需要一些帮助谢谢你的回答。。。但是哈密顿路径不一定是一条简单的路径吗？？？@Nusha：是的，但我要说的是，在DAG中有一条哈密顿路径，代表图的MSCC，而不是图本身。MSCC图中的哈密顿路径意味着原始图上所有顶点的路径。@Nusha:我添加了更详细的解释[和证明]来说明算法的正确性。