Coq 使用List.filter的列表交集

根据我的问题，我正在证明如果两个列表的交集不是空的，那么通过向每个列表添加另一个列表，交集仍然不是空的。我想知道如何证明引理

filterKeepIntersection

。我试图通过

seq

库中的

filter\u cat

策略来解决这个问题，但似乎还不足以证明这个引理

 Require Import  List Nat.
 Inductive customType : Type :=
  |Const1:  nat -> customType
  |Const2: list nat -> customType.

Inductive mydata : Set :=
   |Set1: customType * customType ->mydata
   |Set2: customType ->mydata.

   Fixpoint custome_Equal (c1 c2:customType) :bool:=
        match c1 with
            |Const1 nt => match c2 with 
                       |Const1 mt =>  eqb nt  mt
                       |Const2 (hm::lmt) => eqb nt hm
                      | _ => false
                                     end
           |Const2 (hn::lnt) => match c2 with                                                                            
                           |Const1 mt => eqb  hn  mt
                           |Const2 (hm:: lmt) => eqb hn  hm
                           | _ => false
                                     end
           | _ => false
          end.

 Fixpoint Search (l: mydata) (t:customType):  bool :=
    match l with
       |Set1 (a1, a2) =>  if (custome_Equal a2 t)  then  true else false
       | _=>false
    end.

Fixpoint search2 (c1 c2:mydata) :bool:=
         match c1,c2  with
       |Set1 (a1, a2) ,Set1(a3,a4)=>  if (custome_Equal a2 a4)  then  true else false
       | _,_=>false
    end.


Lemma filterKeepIntersection(l1 l2 l3 l4: list mydata):
(List.filter (fun n => List.existsb (search2 n) l2) l1) <> nil->
(List.filter (fun n => List.existsb (search2 n) (l3++l2)) (l4++l1))<>nil.
Proof.

需要导入列表Nat。
类型：类型：=
|Const1:nat->customType
|常量2：列出nat->customType。
归纳mydata：设置：=
|Set1:customType*customType->mydata
|Set2:customType->mydata。
固定点custome_Equal（c1 c2:customType）：布尔：=
将c1与
|Const1 nt=>将c2与
|常数1 mt=>eqb nt mt
|常数2（hm：：lmt）=>eqb nt hm
|_uz=>错误
终止
|常数2（hn:：lnt）=>将c2与
|常数1 mt=>eqb hn mt
|常数2（hm:：lmt）=>eqb-hn-hm
|_uz=>错误
终止
|_uz=>错误
终止
定点搜索（l:mydata）（t:customType）：布尔：=
匹配
|Set1（a1，a2）=>if（custome_等于a2 t）则为true，否则为false
|_uz=>错误
终止
固定点搜索2（c1 c2:mydata）：布尔：=
将c1、c2与
|Set1（a1，a2），Set1（a3，a4）=>if（custome_等于a2 a4），则true，否则false
|_u，=>false
终止
引理过滤器KeepInTersection（l1 l2 l3 l4:列表mydata）：
（List.filter（fun=>List.existsb（search2n）l2）l1）nil->
（List.filter（fun=>List.existsb（search2n）（l3++l2））（l4++l1））无。
证据

根据

predI

对内部谓词稍加修改，再加上使用

filter\u predI

确实可以立即进行证明，但可以直接使用

mem\u filter