Language agnostic 如何规范化零向量

假设您有一个函数“normalize”，它接受一个数字列表（表示一个向量）作为输入并返回规范化向量。当向量全为零或其分量之和为零时，结果应该是什么？

（0,0,0）应该（0,0,0）标准化，可能加上警告（或异常）。

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从数学上讲，我想它是没有定义的。

从数学上讲，零向量是不能标准化的。其长度将始终保持

0

对于给定的向量v=（v1，v2，…，vn）我们有：

| v | | sqrt（v1^2+v2^2+…+vn^2）

。让我们记住，规范化向量是具有

| | v | |=1

的向量

所以对于

v=0

我们有：

|0 | |=sqrt（0^2+0^2+…+0^2）=0

。你永远无法将其正常化

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同样重要的是要注意，为确保一致性，不应返回

NaN

或任何其他空值。

v=0

的规范化形式确实是

v=0

好吧，你必须除以零，这是你做不到的，所以我认为大多数语言都会有某种NaN值

参考资料：

• （还必须为向量拾取任意方向）
• （使用Python）

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与0/0非常相似。应该抛出异常或返回NaN。

根据我遇到的向量范数的任何定义，零向量已经被规范化了，所以这是一种处理的情况

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对于分量和为零的向量，这取决于你使用的范数的定义。对于普通的旧L2范数（原点和向量之间的欧几里德距离），计算标准化向量的标准公式应该可以很好地工作，因为它首先将各个分量平方。

甚至比Yuval建议的还要糟糕

从数学上讲，给定一个向量x，你要寻找一个新的向量x/| | x||

其中| |.| |是范数，您可能认为它是欧几里德范数

||.| |=sqrt（点（v，v））=sqrt（和）

这些都是浮点数，所以仅仅防止被零除是不够的，如果x_i都很小，那么也会出现浮点问题（它们可能会下溢，并且会丢失大小）

基本上，这一切归结为，如果你真的需要能够正确处理小向量，你将不得不做更多的工作

如果小矢量和零矢量在应用程序中没有意义，可以根据矢量的大小进行测试，并采取适当的措施

（请注意，一旦开始处理浮点数，而不是实数，那么在可表示范围的大端和小端进行平方运算和平方根数（或它们的总和）都会有问题）

一句话：在所有情况下正确地进行数值计算比最初看起来要复杂得多

例如，以一种幼稚的方式完成此（规范化）操作时，我脑海中浮现出潜在的问题

• 所有组件（x_i）都太小
• 任何单个分量过大（大于最大可表示值的平方根）都将返回无穷大。这将通过sqrt从组件上切割可用震级
• 如果大组件与小组件的比率太大，如果不小心，可能会丢失小组件的方向
• 等等

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正如已经多次提到的那样，不能规范化零向量。因此，您的选择是：

返回零向量

还楠

除了返回结果（如果成功）外，还返回一位，指示向量是否成功规格化

抛出异常

选项4不是很好，因为某些语言（如C）没有异常，规范化向量通常出现在非常低级的代码中。抛出异常代价相当高，任何可能希望处理零/小向量情况的代码在发生这种情况时都会受到不必要的性能影响

选项1的问题是返回值没有单位长度，因此它可能会在调用代码中无声地引入错误，并假定生成的向量具有单位长度

选项2和选项1有一个类似的问题，但因为“非”通常比“零”更明显，所以它可能更容易显示

我认为选项3是最好的解决方案，尽管它确实使界面更加复杂。而不是说

vec3 = myVec.normalize();

你现在必须说

vec3 result;
bool success = myVec.normalize(&result);
if(success)
    // vector was normalized
else
    // vector was zero (or small)

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给定一个向量v，对其进行归一化意味着保持其方向，并通过将其乘以精心选择的因子使其成为单位长度

这对于零向量显然是不可能的，因为它实际上没有方向，或者因为它的长度不能通过将它乘以某个因子来改变（它总是等于零）

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我建议，无论你想用你的向量做什么，并且需要对这个向量进行规范化的过程，都不能很好地定义零向量。

从数学上讲，零向量不能被规范化。这是我们在计算几何中称之为“退化情况”的一个例子，这是一个巨大的主题，让几何算法设计者非常头疼。 我可以想象以下解决问题的方法

对于零向量的情况，你没有什么特别之处。如果您的向量类型具有浮点类型的坐标，那么您将在结果中获得零或无限坐标（由于被零除）

您抛出了一个

退化案例\u异常

将布尔值

is\u degenerate\u case

输出参数引入到过程中

就我个人而言，我在代码中到处都使用3方法。它的优点之一是不会让程序员忘记处理退化情况

注意，由于fl的范围有限