Math 半正定矩阵与数值稳定性？

我试图对共现矩阵（C）进行因子分析，共现矩阵（C）由术语文档矩阵（TD）计算得出，如下所示： C=TD*TD'

理论上，C应该是半正定的，但它不是半正定的，因此因子分析算法不能使用它。由于速度原因，我不能更改算法）

我查了一下，这可能是一个数值稳定性问题： -答复2

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在这里进行的好方法是什么

我将对矩阵进行特征分解：

C=Q D Q^-1

如果你的矩阵真的是半正定的，那么所有的特征值（D对角线上的条目）都应该是非负的。（这可能是您的因子分析算法正在进行的测试，以查看矩阵是否为半正定矩阵。）

如果你遇到数值问题，一些特征值可能仅仅小于零。尝试将这些条目设置为零，计算

qdq^-1

以得到一个新的、正确的C，然后将其提交给您的因子分析算法

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另一方面，如果你发现你的矩阵C有真正的负特征值，那么你知道你在C的构造中出了问题。

无法评论，我将不得不回应SplittingField的评论，吹毛求疵地说，形成C=TD*TD'平方TD的条件数，而不是它的两倍。在TD上执行奇异值分解（SVD）是找到C的特征分解的等价方法，也是更稳定的方法。你得到了条件数作为奖励：最大奇异值与最小奇异值的比率是矩阵的条件数，其以10为底的对数是一个估计，如果你在计算中使用C，你将损失多少十进制数字（当然，如果最小的奇异值是0，那么您的问题就是奇异的！）

首先，有一些修复“病理”的技术关于具有负特征值的矩阵——回想一下，矩阵起源于一系列计算，通常这些步骤首先会导致病态。因为矩阵具有小的、接近零的负特征值，所以它是一个“坏”的事实是不合适的矩阵。相反，做一些修复病理学的工作。关于SVD，我同意它是更好的方法之一——但是，我不经常在工作中使用它，因为它的计算成本非常高。但是，如果你有一个或多个矩阵元素为零，即矩阵是稀疏的，那么你必须使用SVD，因为它是我将是唯一有效的方法之一。

谢谢。特征值需要多小才能被视为数值误差？我得到-9e-15到-1e-32之间的负值。这肯定在数值误差范围内。你有权访问因子分析例程的源代码吗？很可能它正在进行特征分解假设本身——在这种情况下，您可以简单地修改代码以允许略微负的特征值。否则，使用我上面建议的方法——但要注意，在将

qdq^-1

再次相乘之后，您可能会得到新的数值错误，使特征值再次略低于零。在这种情况下，您可以尝试的一件事是to使特征值略微为正，而不是完全为零。我在这里发言有点晚，但我想我会发表一点意见。你需要仔细计算C的特征分解，因为在形成C时，你是TD条件数的两倍，这可能会导致数值不稳定。考虑到这一点，我将d看看TD的条件数。可能是在形成这些矩阵时，它们的条件非常恶劣，导致形成和使用C时的结果很差。根据定义

A*A'

始终是pos-semi-def。因子分析实现的确切错误是什么？更不用说执行因子分解exa实际上相当于在TD上执行SVD！关于TD^t的坏条件数，这是一个很好的观点。