Math 如何在二进制级别检测溢出？

我正在读亨尼西和帕特森的《计算机组织与设计》（第四版）。在第225页，他们描述了如何在有符号2的补码算法中检测溢出。我甚至不明白他们在说什么

“当发生[溢出]时，我们如何检测它？显然，添加或 将两个32位数字相减可以得到需要33位的结果 充分表达。”

当然。它不需要34位，因为即使最小的34位数字也是最小的33位数字的两倍，我们要加上32位数字

缺少第33位意味着当溢出发生时，符号位 设置为结果的值，而不是正确的符号 结果如何。”

这是什么意思？符号位用结果的“值”设置。。。这意味着它被设置为结果未签名？如果是这样的话，第33位的缺失又是如何产生的呢

“因为我们只需要一个额外的位，所以只有符号位可能是错误的。”

那就是他们完全失去我的地方

我从中得到的是，当添加有符号的数字时，当且仅当符号位错误时，才会出现溢出。所以如果你加上两个正数得到一个负数，或者如果你加上两个负数得到一个正数。但我不明白他们的解释

而且，这只适用于无符号数字，对吗？如果您要添加有符号的数字，那么检测溢出肯定要简单得多。如果ALU的最后半个加法器设置其进位，则会出现溢出

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注意：我真的不知道什么标记适合这里，请随意编辑它们。

由于32位有符号整数由1个符号位和31位表示实际数字，我们实际上是在添加两个31位数字。因此，第32位（符号位）将是溢出可见的位置

缺少第33位意味着当溢出发生时，符号位被设置为结果值，而不是结果的正确符号

想象以下两个正数的加法（simpify为16位）：

但是，对于两个大负数的求和，需要额外的位

  1100 1100 0011 1010  
+ 1110 0010 0001 0010  
=11010 1110 0110 1100  

---

通常，CPU将此第33位（或其在+1上运行的任何位大小）作为溢出位在微体系结构中公开。

它们的描述涉及对具有特定位序列的值的操作：第一位对应于值的符号，其他位与该值的大小相关

这是什么意思？符号位用结果的“值”设置

他们的意思是溢出位——这是两个数字相加的结果，需要溢出到下一个数字中——被转储到符号位应该位于的同一位置

“因为我们只需要一个额外的位，所以只有符号位可能是错误的。”

这意味着，当您执行溢出的算术运算时，唯一的值可能不正确的位是符号位。所有其他位仍然是它们应该的值

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这是上文所述的结果：符号位的值因溢出而混淆。

任何时候你想要处理这类ALU项，无论是加法、减法、乘法等，都要从2或3位数字开始，比32或64位数字更容易获得句柄。在2位或3位之后，不管是22位还是2200位，从那时起，所有的工作方式都完全相同。基本上，如果您想要创建一个包含所有3位操作数及其结果的表，以便可以直观地检查整个表，那么您可以手动创建一个包含所有32位操作数及其结果的表，但是，手动创建一个包含所有32位操作数及其结果的表无法在合理的时间内完成此操作，并且无法直观地检查整个表

现在，两个补码，这只是一个表示正数和负数的方案，它不是任意的东西，它有一个原因，疯狂的原因是你的加法器逻辑（这也是减法器使用的，与乘法器使用的是同一种东西）不关心无符号或有符号。它不知道有什么区别。程序员关心的是，在我的三位世界中，位模式0b111可以是正七（+7），也可以是负七。相同的位模式，将其输入加法逻辑，得到相同的结果，我可以选择将结果解释为无符号或两位补码（只要我将操作数和结果都解释为无符号或两位补码）。Twos补码还有一个特性：对于负数，设置最高有效位（msbit），对于正数，设置为零。所以它不是符号加幅度，但我们仍然谈论msbit是符号位，因为除了它告诉我们的两个特殊数字，数字的符号，其他位实际上告诉我们幅度，它们不是符号加幅度符号中的无符号幅度

所以，整个问题的关键是理解你的极限。对于3位无符号数，我们的范围是0到7，0b000到0b111。对于3位有符号（两个补码）解释，我们的范围是-4到+3（0b100到0b011）。现在把我们自己限制在3位，如果你加上7+1，

0b111+0b001=0b1000

，但是我们只有一个3位的系统，即0b000，7+1=8，我们不能在系统中表示8，所以这是一个溢出，因为我们碰巧将这些位解释为无符号的，我们看的是“无符号溢出”，也被称为进位或标志。现在，如果我们取这些相同的位，但将它们解释为有符号的，那么0b111（-1）+0b001（+1）=0b000（0）。负一加一等于零。无溢出，未设置“签名溢出”…什么是签名溢出

首先，什么是“未签名溢出”

无论寄存器中有多少位，为什么“它都工作相同”与

  1100 1100 0011 1010  
+ 1110 0010 0001 0010  
=11010 1110 0110 1100  

  1
  09
 +01
====
  10

  111 
   111
 + 001
=======
  1000

  111 
   111
 + 001
=======
   000

  abc
  100 
   110
 + 100
======
   010

  abc
  010
   010
 + 010
======
   100

   010
 + 010
======
   100

x ab cr 
0 00 00
0 01 01
0 10 01
0 11 10 signed overflow
1 00 01 signed overflow
1 01 10
1 10 10
1 11 11

  111H
   111
 + 001
=======
  1000

    1
  011
+ 101
=====

 1111
  011
+ 101
=====
  001

add f,b,d
addc e,a,c

add f,b,d
addc e,a,c
addc x,y,z