Math N维叉积的有效计算？

根据标题，仅仅使用行列式定义和LU分解方法计算n维叉积的最佳方法是这样做的，还是你们能推荐一个更好的方法

谢谢

编辑：为了清楚起见，我指的是笛卡尔积，而不是笛卡尔积

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编辑：似乎使用莱布尼兹公式也会有所帮助——尽管我不知道这与LU Decomp相比有什么不同。现在

从您的评论来看，似乎您正在寻找一种需要n −1向量作为输入，并计算单个向量作为其结果，该向量将与所有输入向量正交，并且可能具有定义良好的长度

定长 你可以描述三维叉积v =A. x b使用恒等式v ∙W =数据段（a、b、w）。换言之，取输入向量的叉积，然后用任何其他向量w计算，与将输入向量和该其他向量插入矩阵并计算其值相同

这个定义可以是。由于行列式可以沿最后一列计算，因此该叉积的结果坐标将是所有（n）的值 −1） ×（n） −1） 子行列式可以由输入向量形成，带有交替符号。所以，是的，它在理论上可能有用，尽管它几乎不适合现实世界的计算。在实践中，你很快就会找到避免重复计算的方法。但是等待这个答案的最后一部分

正是方向 然而，大多数应用程序可以满足较弱的要求。他们不关心结果向量的长度，只关心它的方向。在这种情况下，您要求的是（n）的 −1） 将输入向量作为行，可以形成×n矩阵。该内核的任何元素都将与输入向量正交，并且由于计算内核是一项常见的任务，因此您可以在许多基础上构建，例如。详细信息可能取决于您使用的语言

结合这些

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您甚至可以将上述两种方法结合起来：计算内核的一个元素，对于该向量的非零项，还可以计算相应的（n −1） ×（n） −1） 使用第一种方法得到单个坐标的行列式。然后，您可以简单地缩放向量，使选定的坐标达到计算值，并且所有其他坐标都将与该值匹配。

您不希望莱布尼兹公式用于大N，因为它会很快变得昂贵！对于N>4，LU分解法可能是一种可行的方法。你所说的“叉积”到底是什么意思？你引用的维基百科文章陈述了一个七维的，然后说“在一般维中，没有直接的二元叉积的类似物可以产生一个向量”。你是指楔形产品还是其他什么？@MvG是的，对不起，我想我是指楔形产品吧？我指的是这一部分“，同样，使用方向和度量结构，就像传统的三维叉积一样，可以在n维中取n的乘积− 1向量生成一个垂直于所有向量的向量。但如果乘积仅限于具有向量结果的非平凡二元乘积，则它仅存在于三维和七维中。”具体而言，假设n-1向量的乘积存在，您如何知道它是否限于非平凡二元乘积？例如，检查？“二进制乘积”表示您需要一个以两个向量作为输入的操作，而不是您提到的$n-1$向量。“非平凡”意味着它不会简单地“计算”与其输入无关的零向量。楔形积也是二进制的。你关心结果的长度，还是只关心它的正交性？如果是后者，那么您只需查找由输入向量形成的$（n-1）\乘以n$矩阵的（元素）。有多种方法可以计算该内核，例如使用Lapack。