Math 计算两个移动球将碰撞的x/y点_Math_Language Agnostic_Collision Detection_Physics

Math 计算两个移动球将碰撞的x/y点

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Math 计算两个移动球将碰撞的x/y点,math,language-agnostic,collision-detection,physics,Math,Language Agnostic,Collision Detection,Physics,我正在尝试（本质上）做一个简单的台球游戏，并且希望能够预测一个球一旦击中另一个球，它会去哪里我认为，第一部分是计算主球是否会击中任何物体，如果击中了，会在何处碰撞。我可以算出一条线和一个球的碰撞点，但不能算出两个球的碰撞点给定两个球的x/y位置和速度，我如何计算它们碰撞的点（附言：我知道我可以通过计算每一步两个球之间的距离来做到这一点，但我希望得到更优雅、更优化的东西。）设置示例：尝试计算红点需要注意的一些事情：当两个球的半径r相撞时，它们的中心相距2r 可以假设第一个球沿直线运动

我正在尝试（本质上）做一个简单的台球游戏，并且希望能够预测一个球一旦击中另一个球，它会去哪里

我认为，第一部分是计算主球是否会击中任何物体，如果击中了，会在何处碰撞。我可以算出一条线和一个球的碰撞点，但不能算出两个球的碰撞点

给定两个球的x/y位置和速度，我如何计算它们碰撞的点

（附言：我知道我可以通过计算每一步两个球之间的距离来做到这一点，但我希望得到更优雅、更优化的东西。）

设置示例：尝试计算红点

需要注意的一些事情：

当两个球的半径
```
r
```
相撞时，它们的中心相距
```
2r
```
可以假设第一个球沿直线运动（好吧，第一个近似值，但从这里开始），并且可以找到此路径与从第一个球到第二个球的方向之间的角度，
```
alpha
```
你知道静止球的中心，不是吗

现在你有一些几何要做

请执行以下操作：

将第一个（移动）球的当前中心标记为点

将固定球的中心标记为点

构造线段

AB

从

沿移动方向构造光线

围绕

构建一个半径为

2r

的圆

从垂直于

的

放置一个线段，调用交点

你知道距离

AB

，你可以找到

AB

和

之间的角度

alpha

，用正弦定律找到

BC

的长度

根据该长度确定是否存在0、1或2个解决方案。如果有0或1，则完成

在圆与A相交的地方构造点

，然后再次使用正弦定律计算距离AD

碰撞点是

BD

现在你什么都知道了

从中构造高效的代码只是一个练习

顺便说一句——如果两个球都在移动，这种构造将不起作用，但你可以将其转换为一个静止的帧，以这种方式求解，然后再转换回来。只需确保在反向转换后检查溶液是否在允许的区域内

/物理学家不可能做出这样的评论。我试图反抗。我真的做了。

画出@dmckee的答案

编辑

作为对@ArtB necromancer回答的回应，上图中D点的解决方案可以写成：

1/2 {(Ax+Bx+2 d Dx Cos[alpha]- Dx Cos[2 alpha]+ 2 Dy (Cos[alpha]-d) Sin[alpha]), 
     (Ay+By+2 d Dy Cos[alpha]- Dy Cos[2 alpha]- 2 Dx (Cos[alpha]-d) Sin[alpha])
     }

在哪里

及

嗯

我当时正在研究@dmckee的解决方案，我花了很多时间才完成。下面是我的笔记，也许是为了寻找一个更实际的答案，这是直接采取的因此，荣誉属于他/她，但任何错误都是我的。我通常使用类似Pascal的赋值运算符（即

：=

）来区分显示我的工作和实际需要的代码。我使用的是标准的

Y=mX+b

格式和准oop表示法。我对线段和结果线都使用BC。也就是说，这应该是“几乎”可以复制粘贴的Python代码（删除“；”，将“sqrt”和“sqr”替换为正确版本等）

A.x和A.y是x&y位置，A.r是A的半径，A.v是速度，A.v.x是它的x分量，A.v.y是它的y分量

B是相同的，但没有速度（或者更准确地说，从A中减去B的速度，因此B相对来说是静止的）

AB.m:=（b.y-a.y）/（b.x-a.x）AB.b:=A.y-AB.m*A.x


R.m:=A.v.y/A.v.xR.b:=A.y-R.m*A.x

没必要
BC.m:=-A.v.x/A.v.y
是垂直坡度的标准方程式，BC.b:=b.y-BC.m*b.x现在C
是AB
遇到BC
的地方，所以我们知道它们是相等的，所以让我们把C.y
soC.y==AB.m*C.x+AB.b==BC.m*C.x+BC.b
soC.x:=（AB.m-BC.m）/（BC.b-AB.b）
然后只需插入C.x
即可获得C.y:=AB.m*C.x+AB.b

你可以忽略正弦定律，因为我们有AB和BC，所以我们可以使用毕达哥拉斯定理得到BC
，BC.l:=sqrt（sqr（B.x-C.x）+sqr（B.y-C.y））

如果BC.l>A.r+B.r
，则存在零解，并且这些圆不接触，因为C
是A
的路径s相对于
B的近地点。如果
BC.l==A.r+B.r，则只有一个解决方案，并且
C==D。否则，如果
BC.l
有两种解决方案。你可以这样想，如果子弹漏掉了零个解，如果子弹擦伤了一个解，如果有两个解，那么进出口都有伤口。靠近A`的就是我们想要的


现在，数学变得难懂了，所以我会展示我的工作，以防万一我做错了什么
D
是AC
上的一个点，即a.r+B.r
（又称2r）远离B，因此：
sqrt（sqr（D.x-B.x）+sqr（D.y-B.y））==2r
因此sqr（D.x-B.x）+sqr（D.y-B.y）==4*r*r
。现在，两个变量（即D.x
和D.y
）和一个等式是麻烦，但我们也知道D是麻烦
在线AC
soD.y==AC.m*D.x+AC.b
我们可以代替一氧化碳
Dx = Ax - Bx 
Dy = Ay - By   

d = Sqrt[4 r^2 - (Dx^2 + Dy^2) Sin[alpha]^2]/Sqrt[Dx^2 + Dy^2]  

const ball = {
     x, y,   // position start of frame
     r,      // radius
     vx, vy, // velocity vector per frame
}
// Two balls A, and B
A = {...ball, r: 20, etc}  
B = {...ball, r: 20, etc}

u = (Bvx * (Ax - Bx) + Bvy * (Ay - By)) / ((Ax - Bx) ** 2 + (Ay - By) ** 2);
dA = (((Bx + Bvx * u) - Ax) ** 2 + ((By + Bvy * u) - Ay) ** 2) ** 0.5;

u = (Avx * (Bx - Ax) + Avy * (By - Ay)) / ((Bx - Ax) ** 2 + (By - Ay) ** 2);
dB = (((Ax + Avx * u) - Bx) ** 2 + ((Ay + Avy * u) - By) ** 2) ** 0.5;

Ar*Ar+Br*Br = (((Bx+Bvx*u)-Ax)**2+((By+Bvy*u)-Ay)**2)+(((Ax+Avx*u)-Bx)**2+((Ay+Avy*u)-By)**2);

f(u) = Ar*Ar+Br*Br-(((Bx+Bvx*u)-Ax)**2+((By+Bvy*u)-Ay)**2)+(((Ax+Avx*u)-Bx)**2+((Ay+Avy*u)-By)**2)

// return array if 0, 1, or 2 roots
Math.quadRoots = (a, b, c) => {
    if (Math.abs(a) < 1e-6) { return b != 0 ? [-c / b] : []  }
    b /= a;
    var d = b * b - 4 * (c / a);
    if (d > 0) {
        d = d ** 0.5;
        return  [0.5 * (-b + d), 0.5 * (-b - d)]
    }
    return d === 0 ? [0.5 * -b] : [];
}

// For line segements
// args (x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4, r1, r2)

Math.interceptTime = (a, e, b, f, c, g, d, h, r1, r2) => { 
    const A = a*a, B = b*b, C = c*c, D = d*d;
    const E = e*e, F = f*f, G = g*g, H = h*h;
    var R = (r1 + r2) ** 2;
    const AA = A + B + C + F + G + H + D + E + b*c + c*b + f*g + g*f + 2*(a*d - a*b - a*c - b*d - c*d - e*f + e*h - e*g - f*h - g*h);
    const BB = 2 * (-A + a*b + 2*a*c - a*d - c*b - C + c*d - E + e*f + 2*e*g - e*h - g*f - G + g*h);
    const CC = A - 2*a*c + C + E - 2*e*g + G - R;
    return Math.quadRoots(AA, BB, CC);
}   

const res = Math.interceptTime(A.x, A.y, A.x + A.vx, A.y + A.vy, B.x, B.y, B.x + B.vx, B.y + B.vy, A.r, B.r);
// remove out of range values and use the smallest as time of first contact
const time = Math.min(...res.filter(u => u >= 0 && u < 1));

// point of contact for balls A and B
ax = A.x + A.vx * time;
ay = A.y + A.vy * time;
bx = B.x + B.vx * time;
by = B.y + B.vy * time;