Math 球面投影角等价

假设我们有一个半径为r的球体，距离观测者d

我们定义如下

O: observer
C: Center of the sphere
P: arbitrary visible point of the sphere (fromthe observer)

OC: line connecting the observer to the center of the sphere ( fixed length: d)
OP: Line connecting the observer and an arbitrary visible point of the sphere (variable length depending on the angle: a)
CP: Line connecting the center of the sphere and this arbitrary visible point (fixed length: r)


theta: angle between OC and OP
shi: angle between OC and CP

如果p是球体的一个“外部”可见点，使用基本几何，我们得到了它

theta_max = atan( r/ sqrt(d^2-r^2) )
shi_max = PI/2 - theta_max

对于任何其他点，我得到了以下方程

r.cos(shi) + a.cos(theta) = d
r.sin(shi) = a.sin(theta)

我认为这些方程是正确的，但我看不出有办法把它们写成shi=f（θ），因为‘a’也随它而变化

可能吗？或者这些步骤有错吗

编辑

使用最新的两个方程，我们可以得到

tan(theta)= r.sin(shi)/(d-r.cos(shi))

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但是如果可能的话，我需要得到shi=f（θ）

让我们调用CP和OP

λ之间的角度。求解
λ
相当简单：

sin(λ) = sin(theta)*d/r

现在你知道了三角形中的两个角，剩下的一个角可以通过三角形的角和来计算：

shi = Pi - theta - asin( sin(theta)*d/r )

您希望从两个等式中消除一个变量（
a
），这在这里很容易。为
a
求解一个方程，然后将结果放入另一个方程中。然后
a
消失了，你可以用
shi
来解它。谢谢十五边形，但如果我这样做，我只能得到tan（θ）=r.sin（shi）/（d-r.cos（shi）），它给我θ作为shi的函数，但如果它以封闭形式存在（我不知道），我就无法得到它的倒数shi=f（θ）。编辑文章指向这一点这就是我要找的！谢谢！