Math OCaml中的类型级算法

好的，更多类型的黑客失败：P

在我长达一周的摆脱（运行时）

assert（n>0）

的过程中，我提出了以下模块：

module Nat : sig 
  type z
  type 'n s

  type ('a, 'n) nat = 
          Zero : ('a, z) nat 
        | Succ : ('a, 'n) nat -> ('a, 'n s) nat 

  val add : ('a, 'n) nat -> ('a, 'n s) nat

end = struct          
  type z
  type 'n s
  type ('a, 'n) nat = 
          Zero : ('a, z) nat 
        | Succ : ('a, 'n) nat -> ('a, 'n s) nat 

  let add n = Succ n

  (*  
  let rec to_int n = function 
        | Succ a -> 1 + (to_int a)
        | Zero -> 0
        *)
end

这将提供Peano编号，其中编号以自己的类型编码：

# Zero;;
- : ('a, Nat.z) Nat.nat = Zero
# Succ (Zero);;
- : ('a, Nat.z Nat.s) Nat.nat = Succ Zero
# add (Succ Zero);;
- : ('_a, Nat.z Nat.s Nat.s) Nat.nat = Succ (Succ Zero) 

但是，最后一个函数

to_int

不会编译：

Error: This pattern [Zero -> 0] matches values of type ('a, z) nat
   but a pattern was expected which matches values of type
     ('a, ex#0 s) nat

我想这是因为z和s是不同的类型。是否有可能使它们成为相同的类型，并且仍然将它们作为幻影类型

---

（可能重复：）

首先，您的代码中有一个真正的错误：它是

let to_int=function

，而不是

let to_int=function

真正的问题是您使用的是多态递归函数：对于

nat

类型的第二个参数，您使用不同的类型递归调用它。由于使用多态递归的代码的类型推断在一般情况下是不可判定的，OCaml不会尝试为您猜测它，因此您必须使用多态递归注释来明确：

let rec to_int : type n . ('a, n) nat -> int =
   ...

另一点现在不是问题，但将来可能会成为问题（这表明您仍然需要一些GADT培训）：事实上，

'a s

和

z

是不同的类型，这对于您的函数按照您的需要工作是至关重要的。它告诉您，如果您有一个类型为

（'a，z）nat

（请注意，

'a

参数在所有这些内容中都是无用的），那么它只能是

零

。您可以编写以下函数，它们是总计的，不会得到耗尽性警告：

let is_zero : ('a, z) nat -> unit = function
  | Zero -> ()
  (* case Succ not considered *)

let equal : type n . ('a, n) nat * ('a, n) nat -> bool = function
  | Zero, Zero -> true
  | Succ n1, Succ n2 -> equal (n1, n2)
  (* cases (Zero, SUcc _) or (Succ _, Zero) not considered *)

如果类型

z

和

'a s

可能重叠（例如，如果您定义

type'a s=z

），则类型检查器无法推断这些情况是不同的，您必须处理我在此处忽略的情况

当前定义的问题是，

'a s

和

z

类型是通过模块接口抽象的。在模块的定义内部，定义（作为不同的抽象类型）是可见的，但在模块外部，您不再知道它们是如何定义的，事实上，可能是

type'a s=z

。因此，当您在模块之外时，您也将无法再编写这些函数。解决方案是为这些类型选择具体的定义，并让它们通过模块接口可见，以便类型检查器始终知道它们不会重叠：

module Nat : sig
  type z = Z
  type 'a s = S of 'a
  ...
end ...

---

你永远不会使用那些

Z

和

S

构造函数并不重要，它们只是让类型检查器知道

Z

永远不等于

'a

。可以用

int

和

bool

来代替。

在更主观的评论中，我认为过度的静态验证通常不是一件好事。要学会什么时候使用这些技巧，什么时候不使用。我的猜测是，你会发现任何删除

assert（n>0）

的技术最终都会比你开始使用的简单

assert（n>0）

的简单性、灵活性和可维护性带来有争议的附加值。理解这些技术仍然很好，因为它们偶尔会有用，但是如果你真的想要静态验证的软件，我不会使用OCaml或Haskell，而是Coq。是的，这有点过分了。不过，为了满足我的需要，Coq会更过分。我更感兴趣的是轻量级替代方案，以及如何在“常规”程序中使用它们。另外，我想以一种渐进的方式学习更多关于静态验证的知识，而不必对范式进行彻底的修改。我必须感谢你花时间来了解我这一点！正如我所说，我已经找到了几篇哈斯克尔的文章，但无法轻松翻译它们。谢谢！函数是否也可以返回类型n。纳特？无法使其工作：

let rec of_int n:int->'n nat=函数0->Zero | n->suc（of_int（n-1））

与上述错误相同（此表达式的类型为'a s nat，但预期表达式的类型为z nat）但是类型为n的符号不能编译为返回值？您的函数类型不正确，因为在某种意义上它应该是存在的，而不是通用的。这本身就值得提出一个问题。