Math 从距离矩阵求点的坐标

我有一组点（坐标未知）和距离矩阵。我需要找到这些点的坐标，以便绘制它们并显示我的算法的解决方案

我可以将坐标（0,0）中的一个点设置为simpify，然后找到其他点。有人能告诉我是否有可能找到其他点的坐标吗？如果有，如何找到

提前谢谢

编辑

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忘了说我只需要x-y上的坐标

步骤1，任意指定一个点P1为（0,0）

步骤2，沿正x轴任意指定一个点P2。（0，Dp1p2）

第3步，找到点P3，以便

Dp1p2 ~= Dp1p3+Dp2p3
Dp1p3 ~= Dp1p2+Dp2p3
Dp2p3 ~= Dp1p3+Dp1p2

并在“正”y域中设置该点（如果它满足这些标准中的任何一个，则该点应位于P1P2轴上）。
使用余弦定律确定距离：

cos (A) = (Dp1p2^2 + Dp1p3^2 - Dp2p3^2)/(2*Dp1p2* Dp1p3)
P3 = (Dp1p3 * cos (A), Dp1p3 * sin(A))

现在，您已成功构建正交空间，并在该空间中放置了三个点

步骤4：要确定所有其他点，请重复步骤3，为您提供一个暂定y坐标。 （Xn，Yn）。
比较矩阵中{（Xn，Yn）、（X3，Y3）}到Dp3pn的距离。如果相同，则表示已成功标识点n的坐标。否则，点n位于（Xn，-Yn）

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请注意，第4步还有一个替代方案，但对于周六下午来说，这是一个太多的数学问题

如果对于p、q和r点，矩阵中有pq、qr和rp，那么就有一个三角形

只要矩阵中有三角形，就可以计算该三角形的两个解之一（与平面上三角形的欧几里德变换无关）。也就是说，对于您计算的每个三角形，它的镜像也是一个满足p、q和r上的距离约束的三角形。即使对于一个三角形，也有两种解决方案，这一事实导致了手性问题：您必须选择每个三角形的手性（方向），并且并非所有选择都可能导致问题的可行解决方案

不过，我有一些建议。如果数字条目很小，请考虑使用。你可以在退火步骤中加入手性。这对于大型系统来说会很慢，并且可能不会收敛到一个完美的解决方案，但对于某些问题，这是您和您所做的最好的选择

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第二个建议不会为您提供完美的解决方案，但它会分散错误：错误。在您的情况下，目标函数将是矩阵中的距离与点之间的实际距离之间的误差。

基于角度的答案很难实现，并且很难推广到更高维度的数据。更好的方法是my和WimC的答案中提到的方法：给定距离矩阵

D（i，j）

，定义

M(i, j) = 0.5*(D(1, j)^2 + D(i, 1)^2 - D(i, j)^2)

它应该是一个半正定矩阵，秩等于可以嵌入点的最小欧几里德维数

k

。然后可以从

M

的

k

特征向量

v（i）

中获得与非零特征值

q（i）

对应的点坐标：将向量

sqrt（q（i））*v（i）

作为列放置在

nxk

矩阵

x

；然后，

X

的每一行都是一个点。换句话说，

sqrt（q（i））*v（i）

给出所有点的

i

th分量

矩阵的特征值和特征向量可以在大多数编程语言中轻松获得（例如，在C/C++中使用GSL，在Matlab中使用内置函数

eig

，在Python中使用Numpy等）

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请注意，此特定方法始终将第一个点放置在原点，但点的任何旋转、反射或平移也将满足原始距离矩阵。

这是一个数学问题。推导坐标矩阵X，仅由其距离矩阵给出

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然而，有一个有效的解决方案——多维尺度，可以做一些线性代数。简单地说，它需要一个成对的欧几里德距离矩阵D，输出是估计的坐标Y（可能是旋转的），它是X的近似值。出于编程原因，只需在Python中使用SciKit.manifold.MDS

那是。。。需要大量的蛮力…考虑三点（一个三角形）。有两个方向和无限多个旋转，它们将给出相同的距离矩阵。更进一步，我们说的是一维空间，还是两个，还是三个，还是四个。。。。答案在每种情况下都会改变。通过（0,0），我们应该接受它的二维吗？一旦你确定了方向和角度，第三个之后的所有点不是都是明确的吗？（在2D空间中，因为OP给出了2D零。）@KevinReid一般来说，是的。但是，如果前三个点位于一条直线上，您有两个选择（通过在直线上反射彼此获得），直到您选择了不位于该直线上的第一个点。谢谢您的回答。我不知道这是否是最好的方法，因为在一些场景中，我有很多o点，而元启发式并不总是返回最优解，或者在这种情况下，返回可行解。所以我可能会花很多时间在这个问题上，但仍然没有得到一个可行的答案。@DeepYellow：我喜欢你的答案，部分原因是它可能有助于回答一个不同的、更难的问题，这个问题昨天由不同的用户发布。我试图回答另一个问题，但失败了。如果你对这个挑战感兴趣，下面是URL:@thb:谢谢你指出这个问题。我发布了我认为正确的解决方案，让我知道你的想法。@BrunoBruck余弦定律给出了P1P2和P1P3之间的角度（第一个方程）。下一部分是获得P3在P1P2轴上的投影。知道距离P1P3，并将其设置为三角形的斜边，X和Y值分别是斜边的cos和sine倍。你对P2所做的是可以的，但在P3的情况下，我不能选择集合中的一个点，这不是I