Math 基于两个向量创建旋转矩阵

我希望在传入向量（V）时创建一个旋转矩阵（M），其中

M*[0,0,1]（向前）=V

我这样做是因为我想用这个矩阵乘以其他向量，把它们放到局部空间（不确定这是否是正确的术语，但希望你能理解）

---

因此，如果

[0,0,1]

在乘以M之后向上倾斜90度，变成

[0,1,0]

。。。什么是

M

？

即使是用手，也很简单，很简单。仅通过检查，可以看出M基本上交换了y轴和z轴，而x轴则单独存在

此阵列执行以下任务：

    [1  0  0]
M = [0  0  1]
    [0 -1  0]

M * [0, 1, 0] = [0, 0, -1]

请注意，在对这两个特定向量具有相同影响的变换矩阵集合中，此解决方案不是唯一的。事实上，有无限多这样的矩阵。这里有一个：

     [sqrt(2)/2     0    sqrt(2)/2]
M2 = [sqrt(2/2)     0   -sqrt(2)/2]
     [0            -1         0   ]

---

三维旋转很难思考，甚至在文本中更难解释。然而，你可以把左手变成一组近似的三维轴。看看下面描述弗莱明左手法则的维基百科页面；特别是，请看第二张图，图中的手指标记为I、B和F：

用你自己的手做同样的形状，而不是标记手指I、B和F，让我们称它们为x、y和z。此外，我们会说，这三个手指在手掌处相交的点是原点，即点（0），从原点向其中一个手指/拇指的尖端移动是正向移动的

向量v=（0110）是食指上的一个点（我们称之为y）。我们希望旋转此点以形成点（0-1）。该点位于z轴（拇指）上，但它是负数，因此它位于原点“下方”一个单位处，从拇指尖到原点的方向

所以，要将点（0 1 0）旋转为（0 0-1），我们需要绕x轴（你的中指）旋转它。想象一下，将一张光盘放在中指上，推动它，使其位于食指和拇指定义的平面上（x，y）平面上，并在光盘上从其中心一个单位处做标记。现在想象一下，将该标记与食指对齐，使该标记位于点（0 1 0）处。您可以围绕中指旋转光盘，使标记位于点（0-1）处。因此，所需的旋转是围绕x轴的旋转

下面的Wikipedia页面为您提供了以下公式。绕x轴旋转的矩阵为：

如果要用右手旋转圆盘，则定义矩阵，以便θ的负值对应右手的顺时针运动（反之亦然，正值）。我们需要旋转的角度为负四分之一圈，因此所需矩阵为：

/1    0     0\
|0    0     1|
\0   -1     0/

---

请记住，角度可以用度或弧度表示，因此，如果在代码中实现更一般的旋转，则需要检查数学库的期望值。

因此，您将获得一个局部z-轴

V=（vx，vy，vz）

和一个朝向

U=（ux，uy，uz）的局部x-轴，其中
U
和
V
是单位向量：

局部y轴是
W=标准化（交叉（V，U））
。现在，如果
U
与
V
不完全垂直，则需要使用
U=归一化（交叉（W，V））

3×3旋转矩阵为

    | Ux  Wx  Vx |
M = | Uy  Wy  Vy |
    | Uz  Wz  Vz |

请注意，
Cross（A，B）=（Ay*Bz-Az*By，Az*Bx-Ax*Bz，Ax*By-Ay*Bz）
是叉积运算符，
Normalized（A）=（Ax，Ay，Az）/SQRT（Ax*Ax+Ay*Ay+Az*Az）
创建了一个单位向量。
我还必须解决同样的问题。尽管如此，还是有人需要这个我在这里找到了一个合适的方法

下面是如何用c计算的++

  Eigen::Vector3f a(34, 0, 1);
  Eigen::Vector3f b(2, 2, 1);
  a = a/a.norm();
  float b_norm = b.norm();
  b = b/b_norm;

  Eigen::Vector3f v = a.cross(b);
  float s = v.norm();
  float c = a.dot(b);
  Eigen::Matrix3f vx;
  vx << 0, -v[2], v[1], v[2], 0, -v[0], -v[1], v[0], 0;
  Eigen::Matrix3f r = Eigen::Matrix3f::Identity(3,3);
  if(s != 0 ){
    r = r + vx + vx*vx*((1-c)/std::pow(s, 2));
  }else{
    std::cout<< "doesn't work if a == -b"<< std::endl;
  }

  std::cout<<"Testing..."<< std::endl;
  std::cout << "b: " << b.transpose() << std::endl;
  std::cout << "After projected: b: "<< (r*a).transpose() << std::endl;

Eigen:：vector3fa（34,0,1）；
本征：：向量3B（2，2，1）；
a=a/a.标准（）；
浮动b_范数=b.范数（）；
b=b/b_标准；
本征：：向量3f v=a.交叉（b）；
浮点数s=v.norm（）；
浮点数c=a.dot（b）；
本征：：矩阵x3f vx；
vx可能值得指出的是，虽然有无穷多个变换矩阵映射（0 1 0）到（0 0-1），但并非所有变换矩阵都是旋转矩阵。此外，在旋转矩阵中，执行的旋转必须是围绕y轴和z轴的自然整圈数，以及围绕x轴的自然整圈数加上四分之一圈（在适当方向）的总和绕x轴旋转。相关问题：旋转矩阵的列对应于局部x、y、z轴的组件。
    | Ux  Wx  Vx |
M = | Uy  Wy  Vy |
    | Uz  Wz  Vz |

  Eigen::Vector3f a(34, 0, 1);
  Eigen::Vector3f b(2, 2, 1);
  a = a/a.norm();
  float b_norm = b.norm();
  b = b/b_norm;

  Eigen::Vector3f v = a.cross(b);
  float s = v.norm();
  float c = a.dot(b);
  Eigen::Matrix3f vx;
  vx << 0, -v[2], v[1], v[2], 0, -v[0], -v[1], v[0], 0;
  Eigen::Matrix3f r = Eigen::Matrix3f::Identity(3,3);
  if(s != 0 ){
    r = r + vx + vx*vx*((1-c)/std::pow(s, 2));
  }else{
    std::cout<< "doesn't work if a == -b"<< std::endl;
  }

  std::cout<<"Testing..."<< std::endl;
  std::cout << "b: " << b.transpose() << std::endl;
  std::cout << "After projected: b: "<< (r*a).transpose() << std::endl;