Math 最小化两个数据集之间的插值误差

在下图的顶部，我们可以看到一些值（y轴）随时间（x轴）变化

在这种情况下，我们在不同且不可预测的时间对值进行采样，同时在两个数据集之间交替采样，以红色和蓝色表示

在任何时候计算该值时，我们希望红色和蓝色数据集都将返回相似的值。然而，如三个较小的方框所示，情况并非如此。随着时间的推移，每个数据集（红色和蓝色）的值将出现发散，然后围绕原始值收敛

最初我使用线性插值来获得一个值，接下来我尝试使用Catmull Rom插值。前者的结果是，数值接近，然后在每个数据点之间漂移；后者的结果是数值更接近，但平均误差更大

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有谁能提出另一种策略或插值方法来提供更大的平滑度（可能通过使用每个数据集中更多的采样点）？

我相信，如果不进一步了解基本的采样过程，您所问的问题不会有一个直接的答案。就其性质而言，样本之间的函数值只能是任何东西，因此我认为无法确保两个样本数组插值的收敛性

也就是说，如果您对基本过程有先验知识，那么您可以从几种插值方法中进行选择，以将误差降至最低。例如，如果你测量阻力作为机翼速度的函数，你知道这个关系是平方的（a*V^2）。然后，您可以选择二阶多项式拟合，并在两个系列的插值之间进行相当好的匹配。

我想引用一句话，建议不要使用Catmull Rom进行此插值任务

Catmull Rom的特点之一 样条曲线是指指定的曲线 将通过所有的控制 点-并非所有类型都如此 样条函数

根据定义，红色插值曲线将通过所有红色数据点，蓝色插值曲线将通过所有蓝色点。因此，您无法获得两个数据集的最佳匹配

您可以更改边界条件，并使用两个数据集中的数据点进行分段近似，如图所示。

尝试：Catmull Rom插值（穿过数据点），B样条曲线进行平滑。
例如，对于等距数据（不是您的情况）

当然，插值的红/蓝曲线取决于红/蓝数据点的间距，

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因此无法完美匹配。

对原始连续函数进行采样时，采样频率应符合，否则采样过程会引入错误（也称为混叠）。两个数据集中的错误不同，插值时会产生不同的值

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因此，您需要知道原始函数的最高频率B，然后以至少2B的频率采集样本。如果您的函数具有非常高的频率，并且您无法进行如此快速的采样，那么您至少应该在采样之前尝试将其过滤掉。

我同意ysap的观点，即这个问题无法像您预期的那样得到回答。可能有更好的插值方法，这取决于您的模型动力学-与ysap一样，我建议使用基础动力学（如果已知）的方法

关于红色/蓝色样本，我认为您对采样和插值数据集进行了很好的观察，我将挑战您最初的期望：

在任何时候计算该值时，我们希望红色和蓝色数据集都将返回相似的值

我不希望这样。如果您假设无法完美插值，特别是如果插值误差与样本中的误差相比较大，那么您肯定拥有一个连续误差函数，该函数在样本点处显示最大误差（最长时间）。因此，具有不同采样点的两个数据集应显示您看到的行为，因为远离红色采样点的点（在时间上）可能靠近蓝色采样点，反之亦然-如果像您的点那样交错，这肯定是正确的。因此，我希望你所展示的是：

随着时间的推移，每个数据集（红色和蓝色）的值将出现发散，然后围绕原始值收敛

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（如果您没有关于基本动态的信息（频率内容除外），那么Giacomo的采样点是关键-但是，如果查看Nyquist下面的信息，您不需要插值。）

值得注意的是，我准备牺牲准确性以保持一致性。线性和Catmull Rom插值都保证，如果我要求一个恰好是采样点的时间值，它们将返回采样的精确值；我不需要这个保证。我有点不清楚这是否有用，但你知道吗？它在一些情况下非常有用，例如积分概率分布，通常使用随机抽样。感谢ysap，这些值实际上是位置向量的组成部分，因此它是一个连续函数。因此，Catmull Rom实际上是一种非常好的插值方法，但它会在两个数据集之间产生所述的误差。您知道有哪种样条线类型不能保证它们通过所有控制点吗？同样感谢幻灯片的链接，我应该注意到，两个数据集不一定来自同一个数据集（因此我们无法对它们进行比较），将它们视为相同的数据集来演示问题是很有用的。

Bspline(t) = (data(t-1) + 4*data(t) + data(t+1)) / 6