Math 我如何比较表格a和x2B的数字；b*sqrt（c）没有中间整数变得越来越大？

我正在开发一个应用程序，用于解决二维欧几里德几何中涉及圆和线（）的二次约束，并以图形方式表示结果。我发现了在二叉树中表示此类问题的方法，但我遇到了一个实现问题：

我需要比较

a+b*sqrt（c）

形式的数字，以进行小于、大于和等于的标准关系运算。我的应用程序的

c

值限制为

2

、

3

、

5

、

6

、

10

、

15

或

30

。例如（类似C的伪代码，

^

是“操作员的权力”）：

这种幼稚的实现需要我多次乘法，因此32位整数变成64位整数，然后变成128位整数，等等。我不想在实现中使用自定义BigInteger来存储仅用于比较的临时值

我也不希望使用浮动，并希望避免在尝试直接将

sqrt（c）

作为浮动计算时出现舍入错误的风险。我需要这个应用程序的精确计算，不一定是无限精度的，但我希望避免舍入误差并确保结果正确

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我如何在不需要巨大的中间整数值的情况下比较a+b*sqrt（c）形式的可构造数？我的

a

和

b

的初始值在32位范围内

****更新**** 谢谢大家的回复。根据继续求连分数的建议，我能够使用生成任意精确的平方根近似值

我还发现，它讨论了整数与定点表示的实数近似值相乘时的误差累积。幸运的是，我感兴趣的所有平方根的整数部分最多为6（只需要3位），因此我有很多位可以表示近似值的小数部分。对于32位整数的乘法，我需要位的最小定点近似值，以使乘法后的误差保持在1位

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因此，虽然53位精度

double

足以存储足够精确的平方根近似值，但不足以存储与32位整数相乘后的结果，因为这需要最低67位精度以最小化错误。使用64位整数（比如Q16.48）的定点表示法来表示

c

和32位整数

b

，我计划使用96位或128位数字的多字算术来进行比较，而不会产生足够的错误来抛出结果。我相信这对于比较仅使用这7个平方根的可构造数字来说足够精确，但我对第二种观点感兴趣。有什么想法吗？

我不认为有一个公式可以让您在64位以内进行精确比较，假设您的值使用了完整的32位。我看到的问题是，a+b*sqrt（c）形式的数字在实数中是稠密的（假设c不是正方形），所以你会得到非常微妙的比较，需要很多精度。因此，您基本上需要通过平方来消除平方根，这将使用3次乘法

在这种情况下，BigInt实现实际上并没有那么糟糕，因为您只需要实现乘法、加法、减法和比较。这些可以在很少的代码行中有效地实现。通常情况下，最烦人的是部门的实施。此外，您知道您的数字永远不会溢出包含两个64位单元的数组，因此您实际上不需要跟踪产品中的位数

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编辑：关于Thomas和Nemo对此的评论所建议的双精度的使用，通过使用连分数表示法，实际上很容易找到在sqrt（2）的2^{-53}范围内使用32位整数的近似值。

a

和

b

是有符号整数，是吗？是的。a和b是有符号整数。预计算平方根并使用双精度。它有53位尾数，所以不太可能有任何舍入错误。我的意思是，浮点数是专门为此而设计的，在这种情况下，花费大量时间来保持整数计算是不值得的。@Thomas:你确定两个32位数字的比率不可能在sqrt（2）、sqrt（3）、sqrt（5）等的2^（-53）之内吗。？你能证明吗？如果不是，使用双重密码会有给出错误答案的风险。。。如果B／A非常接近于SqRT（3），请考虑将-B*SqRT（3）与零进行比较。你能证明sqrt（3）的53位精度在这里从未给出错误的答案吗？同样地，对于每一个被问及的可能的比较？在这里使用

double

非常危险，我想。把问题提出来。你可能是对的（+1）。但是，考虑到

c

的有限值集，我想知道是否有一些技巧。例如，如果我们只对a+b*sqrt（2）和a，b非负表示感兴趣，我们可以使用“base sqrt（2）”表示来允许64位的快速比较。也许可以使用它的一些巧妙扩展来避开完整的BigInt实现。Re：续分数。这就是我的想法：-）@Nemo和Edvard，我考虑过连分数，我对它们的主要问题是，因为它们是一个递归过程（至少Gosper的实现是这样），我“我不确定在收到答复时会有什么样的时限，我知道这对我的申请很重要。如果我知道一个确定的时间上限（例如，不超过n次迭代），那么我会更乐意使用CF方法。@Nemo，基本sqrt（2）的问题是它不适用于sqrt（3）、sqrt（5）等（尽管非常有趣）。我认为实际的lim

boolean CompareConstructibleNumbers(int a1, b1, c1, a2, b2, c2)
{
    return a1plusb1sqrtc1_is_greater_than_a2plusb2sqrtc2 = 
        4 * ((a1 - a2)^2) * (b1^2) * c1
          > ((b2^2) * c2 - (b1^2) * c1 - (a1 - a2)^2)^2;
        // Not sure if I have the direction right for >
}