Math 浮点指数的偏差值和范围

我意识到，坐在我的大学课桌上时，我没有及时注意IEEE 754标准的浮点部分。然而，即使我目前没有为嵌入式的东西而挣扎，我也觉得自己不称职，没有资格获得工程师头衔，因为我缺乏某种数学计算方法，完全掌握了标准

我知道的是

• 0

  和

  255

  是表示

  0

  和

  无穷大的特殊值
  价值观
  
  

• 有隐式

  1

  用于将

  23位

  表示为

  24

• 其中，

  e

  仅当它是

  000

  时变为1，如果它是

  111

  且尾数是

  0000

  ，则它是无穷大，如果它是

  111

  且尾数是

  XXXX

  ，则它不是一个数字

我不明白的是

• 我们如何才能包括在内地提到

  -126

  和

  127

  ？总的可能性是多少 254个值作为包含值进行分段
• 为什么选择

  127

  作为偏差值

---

• 一些资料来源解释分段为

  [-126..127]

  但是。这真是错综复杂
• 如果不是前面提到的第二个来源，我们怎么能说最小的

  2^{-126}

  ？如果它是

  2^{-125}

  ？（虽然苦苦挣扎，但我至今仍无法用头脑去理解它：）
• 对偏差值使用模余数运算符而不是减法（即

  2^{e%127}

  ）不是更合乎逻辑吗？（由于以下原因进行了更正）

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指数范围
对于32位浮点，原始指数

rexp

为8位
，偏差为

127

。排除特殊情况

{0255}

我们得到
应用偏差：

expmin =   1-127 = -126
expmax = 254-127 = +127

非规范值没有隐式1，因此对于最小数，mantisa为

1

，如果指数应指向mantisa的lsb，则我们需要再移动几次：

expmin =   0-127-(23-1) = -149

正常最大值将与最大mantisa一致，因此：

max = ((2^24)-1)*(2^127) =  (2^24)*(2^127) - (2^127) = 2^151 - 2^127

因此

float

的实际范围（包括非规范值）为：

<2^-149  ,2^+151  )
<1.40e-45,2.85e+45) 

使正指数和负指数的范围尽可能相同
模
使用

exp=rexp%127

将不会从unsigned

rexp

中获得负值，无论除法操作是否缓慢（至少在创建规范时）。。。这就是为什么

exp=rexp偏差

我们如何才能包括在内地提到

-126

和

127

？如何将所有可能的254个值划分为包含值
IEEE 754-2008 3.3规定，任何格式的最小指数emin应为1−emax，其中emax是最大指数。该条款中的表3.2规定32位格式（命名为“binary32”）的emax应为127。所以艾敏是1−127 = −126
没有数学上的限制来迫使这一点。选择这种关系是出于偏好。我记得有一种愿望，希望积极的指数略高于消极的指数，但我不记得这样做的理由
为什么选择

127

作为偏差值
一旦选择了上述边界，127就必然是将其编码为8位所需的值（作为代码1-254，而将0和255作为特殊代码）

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一些资料来源解释分段为

[-126..127]

，但一些

[-125…128]

。这真是错综复杂
给定二进制32的位，即符号位S、八个指数位E（表示数字E的二进制）和23个有效位F（表示数字F的二进制），并给定0
• 所代表的数字是(−1） S•2e−127•（1+f/223）
• 所代表的数字是(−1） S•2e−127•1.F2
• 所代表的数字是(−1） S•2e−126•（½+f/224）
• 所代表的数字是(−1） S•2e−126•.1F2
• 所代表的数字是(−1） S•2e−150•（223+f）
• 所代表的数字是(−1） S•2e−150•1F.2
前两种方法的不同之处在于，第一种方法将有效位F作为二进制数字处理，得到一个数字F，然后将该数字除以223并加1，而第二种方法使用23个有效位F写入一个24位数字“1.F”，然后将其解释为二进制数字。这两种方法产生相同的值
第一对和第二对的区别在于，第一对在半开区间[1,2]中准备一个有效位，而第二对在半开区间[½,1]中准备一个有效位，并调整指数进行补偿。乘积相同
第一对和第三对之间的差异也是一个缩放。第三对缩放有效位，使其成为整数。第一种形式在讨论浮点数时最常见，但第三种形式对于数学证明很有用，因为数论通常与整数一起工作。这种形式是also在IEEE 754中顺便提及，也在第3.3条中提及
如果不是前面提到的第二个来源，我们怎么能说最小的

2^{-126}

最小正正常值有S位0、E位00000001和F位00000000000000000。在第一种形式中，这表示+1•21−127 • 1 = 2−126.在第二种形式中，它表示+1•21−126 • ½ = 2−126.在第三种形式中，它表示+1•21-150•223=2−126.所以形式是不相关的；表示的值是相同的
使用余数运算符不是更多吗

<2^-126   ,2^+127  >
<1.175e-38,1.701e38>

bias = (0+255)/2 = 127