MATLAB中复数函数导数的数值计算

我想在MATLAB中数值计算复值函数（全纯函数）的导数

我已经在复平面上的网格中计算了函数，并且我尝试使用柯西-黎曼关系计算导数

鉴于： u=real（f），v=imag（f），x=real（点），y=imag（点）

导数应为：f'=du/dx+i dv/dx=dv/dy-i du/dy

其中“d”是导数运算符

我尝试了以下代码：

stepx = 0.01;
stepy = 0.01;
Nx = 2/stepx +1;
Ny = 2/stepy +1;
[re,im] = meshgrid([-1:stepx:1], [-1:stepy:1]);
cplx = re + 1i*im;
z = cplx.^3;

衍生工具应为：

f1 = diff(real(z),1,2)/stepx +1i* diff(imag(z),1,2)/stepx;

或

但这两个被认为相等的导数并不匹配

我做错了什么

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让我们计算小于stepx的元素数（假设stepx=stepy）：

lm=min（尺寸（f1））；
A=f1（1:lm，1:lm）；
B=f2（1:lm，1:lm）；
总和（绝对值）（A-B）问题是，使用两个不同的表达式，在Matlab中使用离散化，计算复平面上不同点的近似导数。假设你在虚值y处，计算沿实轴x的差值，然后第i个差值估计
（x（i）+x（i+1））处的导数/2
，即在两个后续x值之间的所有中点处。另一种方法是估计给定x处但在两个后续y值之间的所有中点处的导数

这也会导致结果矩阵的大小不同。使用第一个公式可以得到大小为201x200的矩阵，另一个是大小为200x201的矩阵。这是因为在第一个变量中，沿x有200个中点，但沿y有201个值，反之亦然

所以答案是，你没有做错任何事，你只是错误地解释了结果


可以通过沿其他维度（不用于导数的维度）显式插值来解决此问题：

其中，
f1
根据第一个公式计算，而
f2
根据第二个公式计算。现在，两个导数都在两个维度的中点处求值，这就是为什么两个矩阵的大小都是200x200

如果你现在比较它们，你会发现它们在数值误差上是相同的（毕竟，
diff
只计算近似导数，
interp1
产生插值误差）。对于你的步长，这个误差最大为1e-4，可以通过使用较小的步长进一步减小

f2 = diff(imag(z),1,1)/stepy - 1i* diff(real(z),1,1)/stepy;

lm = min(size(f1));
A = f1(1:lm,1:lm);
B = f2(1:lm,1:lm);

sum(sum(abs(A - B) <= stepx))

f1i = interp1(1 : Ny, f1, 1.5 : Ny);
f2i = interp1(1 : Nx, f2 .', 1.5 : Nx) .';

sum(sum(abs(f1i - f2i) <= stepx))

f1i = interp1(1 : Ny, f1, 1.5 : Ny);
f2i = interp1(1 : Nx, f2 .', 1.5 : Nx) .';