Algorithm 对数n时间内类Fibonacci递推的求解

斐波那契级数第n项的求法 f（n）=f（n-1）+f（n-2）可以通过记忆在O（n）时间内求解

一种更有效的方法是使用分治法在对数n时间内求解斐波那契矩阵[[1,1]，[1,0]]的n次方

是否有类似的方法可供参考 f（n）=f（n-1）+f（n-x）+f（n-x+1）[x是某个常数]

只需存储以前的x元素，就可以在O（n）时间内解决此问题

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有没有更好的方法来解决这个递归问题。

正如您已经怀疑的那样，这将非常类似。使用

x*x

矩阵的n次方

|1 0 0 0  .... 1 1|
|1 
|  1
|    1
|      1
|        1
...................
...................
|          ... 1 0|

这很容易理解，如果你把这个矩阵和向量相乘

f(n-1), f(n-2), ... , f(n-x+1), f(n-x)

导致

f(n), f(n-1), ... , f(n-x+1)

矩阵求幂可以在O（log（n））时间内完成（当x被认为是常数时）

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对于Fibonacci递推，还有一个闭合公式解决方案，请参见此处，查找Binet或Moivre公式。

您可能需要研究Tribonacci数（以及其他Fibonacci数的推广）。它们已经得到了相当广泛的研究。请参见，例如

这是一个很好的问题，但您可能会在math.stackexchange.com上得到更好的答案……或者您可以查看并尝试调整所提供的工具，以计算您的问题的特定解决方案。同样的方法，但矩阵的大小将是x乘以x。这是否有效取决于x和n的相对大小。比奈公式不是O（1），因为它包含n次幂，需要以足够高的精度进行计算。实际上，它比矩阵的二元幂运算慢。请注意，对于这种情况，还有一个封闭形式的解决方案。简单地诊断递归矩阵。取第n次幂将解耦为提升到第n次幂的

x

标量，您只需转换回原始基一次。（好吧，我怀疑这个解释对于这个论坛来说有点简洁，但无论如何…）我想到了这个，但是有没有更有效的方法呢？这需要O（（x^3）*logn）。@elricL:小心这些复杂性。由于涉及的数字越来越大，我们不能假设——比如说——加法是O（1）。即使计算像3^n这样简单的东西也是O（n log（n））。至于你原来的问题：递归矩阵的二元幂运算（不带对角化）可能是你最好的选择，因为它的复杂性与带对角化的解相同，但前者可以用整数算术来完成。@elricL:你可以用O（x²）来做矩阵乘法，这需要一些洞察力（计算O（x²）中的一行，然后分别计算O（x²）中的其他行）