Algorithm 用2x1瓷砖填充矩阵，并最小化剩余空间

我已经给出了一个大小为5xN的矩阵，其中有几个单元格被阻塞，我需要使用大小为1x2的分片填充矩阵，以使剩余的空单元格尽可能少。我们可以水平或垂直放置1x2瓷砖。 如果我在单元格（I，j）垂直放置瓷砖，那么我必须打印1（I，j）否则打印2（I，j）。请参见下面的示例：

......
..#..#
##.#..             # -> blocked cells
##.##.             . -> empty cells
.####.

上述矩阵的解决方案为：

2 (0,0) 
2 (0,2)
2 (0,4)
2 (1,0)
2 (1,3)
1 (2,2)
2 (2,4)
1 (3,5)

最终矩阵：

######
######         (only one cell left empty)
######             
######             
.#####

我尝试使用BFS解决问题，但它给了我时间限制，我可以使用什么其他方法来优化解决这个问题

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1您可以使用蛮力和动态规划的混合，在时间和空间中解决这个问题

为了解释这一点，我将把施加在5个单元格的列上的规则表示为二进制数b（例如10011），其中“1”表示我将水平平铺的左侧部分放置在该单元格上，而“0”表示我不放置

现在，您可以定义大小为（N+1）*32的DP表，如下所示：

• DP[i][b]是第一列i中的最小可能空单元格数，前提是列数i遵循b表示的规则。如果无法遵守此列上的规则b（因为您的输入矩阵中存在障碍，或者因为我们位于矩阵的最后一列，因此无法放置水平平铺），则DP[i][b]=无穷大

作为基本情况，您有DP[0][0]=0和DP[0][b]=infinity，因为我无法使用0列放置任何平铺

然后为i>0计算DP[i][b]，对于i-1列上与i列上规则b兼容的每个规则b'，计算如下：

• DP[i-1][b']+列i上的空单元格数如果您遵守规则b和b'，则在列i上放置尽可能多的垂直平铺

并将DP[i][b]设置为所有此类计算数字中的最小值。（当然，如果列i上的规则b与输入矩阵中的障碍不兼容，则只需将DP[i][b]设置为无穷大即可）

---

计算完所有这些值后（按i的递增顺序），您的答案将是DP[n][0]（因为您不能在最后一列上放置任何水平平铺）。

假设，对于第i行中2^5=32个可能的占用/空闲单元格模式，您知道通过放置多米诺骨牌可以填充的最大单元格总数，以便（a）它们在第一行中生成此模式，以及（b）多米诺骨牌不会延伸到第一行下方。现在，对于第i+1行中任何给定的占用/空闲单元模式，您可以通过尝试扩展每个第i行模式的所有方法来计算遵守第i+1行相应约束的最大占用单元总数。同样，对于同时具有两个间隙的行i模式，您只需尝试其中一种

=

和

|

形状。正确的想法是，如果“兼容”意味着“行i-1中有一个0，而行i中有一个1”，这可能会低估空单元格：例如，您可以设置DP[i][10000]=min（…，DP[i-1][00111]，…）+0，如果DP[i-1][00111]赢得该最小值，这将低估，因为即使通过放置水平多米诺骨牌可以完全填充第i-1行，但一旦我们放置第i行的10000所需的垂直多米诺骨牌，就无法再放置该行。使用两个单独的DP矩阵可以解决这一问题：一个矩阵包含放置水平多米诺骨牌的效果（使用此选项获得第n行的最终答案）和不使用此选项的答案（使用此选项计算第一个DP矩阵的下一行）。此外，请提及初始障碍。我认为我不同意您的评论（如果我理解正确），因为我将在第I行放置垂直瓷砖定义为在第I行放置瓷砖的上部（因此，不可能干扰前一行的水平分幅）。我刚才看到你对问题的评论，你似乎是从另一个角度来做的，所以这可能是混乱的根源。至于最初的障碍，这就是我所说的“如果第一行的规则b与你的矩阵不兼容”，但它可能不够清楚，我将尝试重新表述它。@Tassle您能试着运行这个测试用例吗-，答案应该是1