Algorithm 如何求解此递推T（n）=T（n&x2212；1）+；lg（1+；1/n），T（1）=1？

我陷入了这样的循环：

T(n) = T(n − 1) + lg(1 + 1/n), T(1) = 1?

有一段时间，主方法似乎无法应用于此方法。

我们有：

lg（1+1/n）=lg（（n+1）/n）=lg（n+1）-lg（n）

因此：

T（n）-T（n-1）=lg（n+1）-lg（n）

T（n-1）-T（n-2）=lg（n）-lg（n-1）

…

T（3）-T（2）=lg（3）-lg（2）

T（2）-T（1）=lg（2）-lg（1）

添加和删除，我们得到：

T（n）-T（1）=lg（n+1）-lg（1）=lg（n+1）

或

T（n）=1+lg（n+1）

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因此，

T（n）=O（lg（n））

与这里的另一个正确答案相同，只是证明了不同

以下所有方程式均根据给定的递推公式创建：

T(n) = T(n − 1) + lg(1 + 1/n), T(1) = 1?

• T（n）=T（n-1）+对数（（n+1）/n）
• T（n-1）=T（n-2）+对数（n/（n-1））
• T（2）=T（1）+对数（3/2）

将上述方程式中的所有RHS和LHS相加得出：

• T（n）=T（1）+对数（3/2）+对数（4/3）+…+日志（（n+1）/n）

因为Log（a）+Log（b）=Log（ab）

• T（n）=1+Log（（n+1）/2）
• T（n）=Log（10）+Log（（n+1）/2）=Log（5n+5），假设基数为10，使用1=Log1010

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因此T（n）=O（Log（5n+5））=O（Log（n））

这并不像一些人所说的那样是线性的。它是

O（log（n））

。以下是数学分析：

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如果开始展开递归，您将得到：

如果你坚持到最后，你就会

或者简而言之：

用积分近似求和后，将得到：

最后，如果您选择极限x->无穷大：

你会看到第一部分是

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这给了你一个最终的解决方案，就是，我可能错了，但对我来说，它似乎是线性的。我同意计算机（我不是那个否决你答案的人），但是这个方程从根本上是不正确的。如果它在计算机的算法基础上是有效的，它应该被重写为

T（n）=T（n-1）+lg（1+1/n）+k

，其中

k

是一个常数或

O（1）

。在这种情况下，解将变成

T（n）=n*k+lg（n+1）

或

O（n）

。在这种情况下，求和有一个超出限制的有限

n

的封闭形式解。@user1952500:-）这令人尴尬。无论如何，这个解决方案没有什么错，只是它使事情变得过于复杂。它还可以显示如果没有封闭式解决方案，该怎么办无需担心。我正准备走同一条路，因为极限允许我们在头脑中快速计算解决方案。只是尝试了另一种方式：）