Algorithm 寻找嵌套循环的复杂性

所以我有一个非常复杂的嵌套循环，我需要找到它的复杂性。代码如下：

1。int c=0；
2.对于（int i=1；i第4行：

i is O(n).
j is O(n).
Therefore, i+j is O(n).
Having a constant step of 3, making (i+j)/3 steps, is O(n).
This inner loop will run for n*n*k iterations, where
    k is the summation of ceil[(i+j)3] over their ranges.
    k will be roughly (n+2)/3.

第5行：

Increment is O(1).

这将完成您的推导。
程序对每个
（i，j）执行∈ [n] X[n]
a
O（i+j）
操作。

我们可以说这是一个
O（i）
操作，然后是
O（j）
操作，复杂性保持不变。

因此，对于每个
i
我们做
O（n*i）
[对于每个
j
（
n
），我们做
O（i）
]和
O（1+2+…+n）=O（n^2）
。显然，
O（n*i）+O（n^2）=O（n^2）
，我们总共做了
n次
O（n^3）.
我们可以从数学上证明复杂性。总迭代次数可以表示为（遗憾的是，不支持latex）

如果您绘制
i
和
j
值及其总和
i+j
的网格，您也可以看到这一点

这相当于

sum_j=1^n {[n(n + 1)/2 + nj] / 3}

可以进一步简化为

{n[n(n + 1)/2] + n[n(n + 1)/2] / 3}

经过评估得出

(n^3 + n^2) / 3

这是顺序
O（n^3）

步骤为1而不是3的迭代次数可以通过编程进行验证（Python代码）

c=0
n=4#改变n进行测试，缓慢
对于范围（1，n+1）内的i：
对于范围（1，n+1）内的j：
对于范围（1，i+j+1）内的k：
c+=1
断言（c==（n**3+n**2））
因为我们唯一关心的是O的复杂性，只要我们在恒定因素内，这一点就可以改变：

1） 
k++=3
=>
k++
以[1,3]之间的常数因子更改运行时

2） 
for（inti=1；i
for（inti=n/2；我不应该为n（n-1）（2n/3）运行第k个循环）？因为第j个循环运行（n-1）次对吗？（1）这种差异不影响计算复杂性；（2）不，
i
和
j
具有相同的迭代限制。如果这是真的，那么对于n=5，c的值是83（从n*n*（2n/3））.但是当我运行代码时，c的值是58。你能告诉我我遗漏了什么吗？你遗漏了我犯了一个计算错误。调整我的答案…最重要的是，你为什么要担心
c
的确切值？你的问题是关于计算复杂性，这是时间增量的限制ase作为
n
的函数，
c
是一个合理的时间度量，但小
n
的特定值不会损失研究时间。也就是说，将迭代次数除以3并不完全“正确”因为它更多的是一个
floor
函数，但我的数学无法处理。如果这是真的，那么对于n=5，c的值是100。但是当我运行代码时，c的值是58。你能告诉我我遗漏了什么吗？@ppaloo你的代码以3步一步的方式运行
k
。“证明”程序是为
k
一步一步编写的，因为
i+j
之和永远不可能是3的完美倍数。很难用一个底函数构造一个精确的数学证明。@ppaloo反正对于
n=5
来说
c
的值是150而不是100。进一步考虑，它可能是相反，
c
不精确的原因是一样的。你只能估计。
{n[n(n + 1)/2] + n[n(n + 1)/2] / 3}

(n^3 + n^2) / 3