Algorithm 如何用数学证明编程函数

这里有一个编程问题：

给出了四个整数A、B、C和D。它们的组合是由这四个整数按一定顺序组成的任何零索引数组M。如果所有给定的整数都是唯一的，那么它们有24种不同的混合

给定整数的最佳混合是任意M个整数的混合，其值为： F（M）=abs（M[0]-M[1]）+abs（M[1]-M[2]）+abs（M[2]-M[3]）是最大的

编写一个函数：

类解{intsolution（inta，intb，intc，intd）；}

给定四个整数A、B、C和D，找到它们的最佳混合M并返回F（M）的值

例如，考虑下列整数： A=5B=3C=-1D=5

它们的最佳组合如下：

M[0]=5

M[1]=-1

M[2]=5

M[3]=3

结果是F（M）=14

假设：

A、 B、C和D是范围内的整数[−1000000..1000000]

复杂性：

期望最坏情况时间复杂度为O（1）； 预期最坏情况下的空间复杂度为O（1）

我的想法是：

创建一个数组并按子代顺序对数字进行排序

分配M0[0]=N[3]，M[1]=N[0]，M[2]=N[2]，M[3]=V[1]

澳大利亚统计局星期四【最大数字-最小数字】+【最小数字-第二大数字】+【第二大数字-第二小数字】

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我如何证明我的想法是正确的？如何用数学方法证明它？

这是一个有趣的问题，所以我提出了一种方法，也可以用于一般N

首先让我解释一下我对4个整数的方法，然后我将解释如何将我们的方法扩展到4个以上的整数

因此，我正在考虑给定的示例

Array arr = [A=5, B=-1, C=5, D=3].

应采取的步骤：-

1. Sort all the numbers, now you the list as follows - -1,3,5,5.
2. Keep two pointers one start=0 and other end=3.
3. Take a new list say new_arr and Append arr[3] to new_arr i.e 5. Now without much thinking append arr[0] and arr[1] to both sides of 5.
4. So our new_arr looks like = -1,5,3.
5. Increment start += 2 and Decrement end -= 1.
6. Now we take arr[end] i.e arr[2] = 5 and we check whether abs(new_arr[0]-arr[2]) > abs(new_arr[length]-arr[2]) or not, if yes then append arr[2] to start else append it to the end.
7. Now our final list looks like - 5,-1,5,3.
8. Now if you calculate the abs(new_arr[i]-new_arr[i+1]) you will get 14.

您也可以对输入

100,1,50,51

测试上述方法，它将为您

199

现在，让我们讨论一下如何将其扩展到常规

N

因此，一旦我们完成了步骤4。因此，从那时起，对于每个

start+1

和

end+1

交替，直到

start

，我们检查以下条件：

abs(new_arr[start]-arr[cur_index]) > abs(new_arr[end]-arr[cur_index]) or not.

基于对每个迭代的检查，我们将附加到前面或后面

基本上是一种贪婪的方法，它应该起作用，因为我们在中间创造了一个最大元素的山脉和两边的其他小斜坡。

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希望这能有所帮助。

由于似乎没有向您询问一般解决方案，而且问题规模很小，最简单的方法是对函数调用中的24种排列进行硬编码，以评估成本并保持最佳：

F(A, B, C, D); 
F(A, B, D, C); 
F(A, C, B, D);
...

作为一个次要的优化，您可以删除一半对称的情况（函数的计算方法与从左到右或从右到左的计算方法相同），因此只需要12个调用

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高级注意事项：

我在Wikipedia上找到了这句话：“在具有非负边权重的加权完整图中，加权最长路径问题与旅行商路径问题相同，因为最长路径总是包含所有顶点。”

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如果我是对的，我们正是在这种情况下，所以这个问题是NP难的。这意味着没有希望找到比穷举搜索更好的方法，如上所述。（无论如何，这个问题的例子享受三角不等式，这可能会使它更容易…

迭代所有可能的组合是不必要的-一个简单的排序，再加上以适当的顺序从结果集合中提取值就是所需要的。您希望将最小的输入值设置为“介于”最大值和第二大值之间，以及最大值旁边的第二小值，所有操作都是为了最大化各种元素的差异。使用以下函数（在Clojure中，是一种Lisp变体）：

在这里，我们获取输入集合

n

，并按降序对其排序以生成“m”，然后根据需要提取值以获得所需结果。然后执行计算（m0-m1）、（m1-m2）、（m2-m3），取每个子结果的绝对值，并求和

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我希望看到一个数据集，该函数不能为其生成所需的结果。

我认为您的任务要求您编写代码来实现这一点，这是错误的。您只需迭代24个配置并返回最佳配置。@TimBiegeleisen True，尽管一般问题（有N个整数）仍然很有趣。顺便说一句，您的解决方案不正确。考虑这个例子：<代码> [ 1, 50, 51，100 ] < /代码>。您的订单将是

[100,1,51,50]

，总计为

149

，但是

[50,100,1,51]

是一个更好的订单，分数为

199

。也许最好把N分成两半，从大到小，每一半取一个元素？（也不确定这是否是最优的）。如果你不能证明它是有效的，我就不会依赖这种启发式方法。@YvesDaoust你想让我写一个程序并在一堆案例上测试它吗？不，一些测试永远不会说服我，因为你不确定覆盖范围是否足够。我需要一个数学论证。

(defn maximal-func [n]
  (let [m  (sort > n)
        m0 (second m)         ; second-largest value
        m1 (last m)           ; smallest input value
        m2 (first m)          ; largest input value
        m3 (second(rest m))]  ; second-smallest value
  (reduce + (map #(Math/abs %) [(- m0 m1) (- m1 m2) (- m2 m3)]))))