Algorithm 样条曲面插值

假设有n个点定义了z轴上的曲面

f(x1,y1) = 10
f(x2,y2) = 12
f(x3,y3) = 5
f(x4,y4) = 2
...
f(xn,yn) = 21

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现在我想要能够近似地得到f（x，y）。我正在寻找一个线性算法，尤其是样条曲线近似算法。一个示例算法或至少一些指针会很好。

您可以使用您的点作为Bezier（或Bspline）曲面的控制点，特别是当

（xi，yi）

在

XY

平面中采样矩形时。在这方面，没有合适的地方

您将获得的曲面将位于点的凸包中，并将在

{xi，yi}

的边界处与点相交（插值）

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如果你想做实验，在

Matlab

中似乎包含简单的代码，如果你没有

Matlab

，你也可以用它来做同样的事情（尽管它需要计算程序的文件格式）。

这是对线性近似方法的模糊描述

确定点的位置（对于平面中的每个点，找到最近的

（x\u i，y\u i）

）

如果有一段线段的点，

（x\u i，y\u i）

和

（x\u j，y\u j）

的距离是相等的（并且比任何其他线对都近）

在每个三角形上，找到通过三个顶点的平面。这是您需要的线性插值

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下面将在Python中实现前两个步骤。你生活的规律性 网格可以让你加快速度（也可能会搞乱三角测量）

导入itertools
“”基于http://stackoverflow.com/a/1165943/2336725 """
def为ccw（tri）：
返回（（tri[1][0]-tri[0][0]）*（tri[1][1]+tri[0][1]）
+（tri[2][0]-tri[1][0]）*（tri[2][1]+tri[1][1]）
+（tri[0][0]-tri[2][0]）*（tri[0][1]+tri[2][1]）<0
def外圆包含点（三角形，点）：
将numpy作为np导入
矩阵=np.数组（[[p[0]，p[1]，p[0]**2+p[1]**2,1]表示三角形中的p+点]）
返回值为逆时针（三角形）=（np.linalg.det（矩阵）>0）
三角剖分=集合（）
"""
Delaunay三角剖分中的三角形当且仅当其外接性
圆不包含其他点。此实现为O（n^4）。更快的方法
在http://en.wikipedia.org/wiki/Delaunay_triangulation
"""
对于itertools中的三角形。组合（点，3）：
三角形_为空=真
对于点到点：
如果三角形中的点：
下一个
如果外圆包含点（三角形，点）：
三角形_为空=假
打破
如果三角形_为空：
三角剖分。添加（三角形）
对不规则二维数据进行插值并不是那么容易。我知道没有真正的样条线推广到不规则二维

除了基于三角剖分的方法外，您还可以查看Barnes（）和反向距离加权（）或更一般的RBF（）

如果您的点分布非常不均匀（密集簇），则可能需要使函数的大小自适应，或者采用近似而不是插值。
wikipedia][1]文章有点令人望而生畏，但至少请尝试查看示例部分。[1] ：您是规则网格上的x，y控制点吗？对于形式为f（x，y）的函数，更常见的做法是假设基础数据的形式（K次多项式、N高斯和等），然后通过最小二乘法确定系数。这里行吗？你知道这些数据代表什么吗？如果您真的想要样条曲线，那么NURBS值得一看。它们具有很好的渲染特性。构造（x，y）点的Delaunay三角剖分以获得基础，除非它们位于规则网格上。对于平面拟合，你需要一个标准的最小二乘拟合，我不需要样条曲线。线性的就足够了。关于平面拟合，我不能说太多，但数据点位于规则网格上。只是缺少了一些数据点。最终的实现必须是ruby，所以Matlab不是一个真正的选项。但问题确实是关于XY平面上的矩形。我从未使用过Ruby，但我确信它有一个Bezier/Bspline包。实际上，它们并没有扩散太多。最糟糕的情况是，我甚至可以使用线性插值，但我更喜欢更平滑的曲面。近似听起来也是一个有趣的角度。径向基函数+1。几年前，我写了一篇论文，研究这些被推广到流形上的函数的对象。只要你没有稠密的星团，而且n点的数目不太大，它们就可以工作得很好。（如果n确实变大了，你希望你的RBF有紧凑的支持，这样所涉及的矩阵是稀疏的。但是你需要使用稀疏线性代数来保持它的可接受的伸缩性。）漂亮、平滑的插值。