Math 求解T（n）=4T（n/2）和#x2B；n^3+；n*（日志（n））^2

我试图用替换法解决一个递归问题。递推关系为：

T(n) = 4T(n/2) + n^3 + n*(log(n))^2

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我也尝试用master方法解决这个问题。

您可以使用的第一个辅助方法是

n=2^k

。您的复发变成：

T（2^k）=4T（2^（k-1））+2^（3k）+2^k*log（2^k）^2

或

T（2^k）=4T（2^（k-1））+2^（3k）+c*k^2*2^k

其中

c=（日志2）^2

在另一个假设之后，

S（k）=T（2^k）

除以

4^k

我们得到

S（k）/4^k=S（k-1）/4^（k-1）+2^k+c*k^2/2^k

我们的最终结果是

R（k）=S（k）/4^k

，新的重现期是

R（k）=R（k-1）+2^k+c*k^2/2^k

通过伸缩（即对这些方程求和k=2，3，…，n），我们得到

R（n）=R（1）+和（2^k）+c*和（k^2/2^k）

（其中两个总和从k=1到k=n-1）

最后,

R（n）=R（1）+2^n-1+c*（6-（n^2+2n+3）/2^（n-1））

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T（2^k）

可以很容易地从上一个方程中找到。对于

T（n）

的其他值（当n不是2的幂时），如果没有额外的假设（例如连续性），就没有足够的数据）。

从时间复杂度的角度来看，

T（n）=4T（n/2）+n^3+n*（log（n））^2

与

T（n）=4T（n/2）+n^3

相同

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现在使用a，您有

a=4

，

b=2

，因此

c=logb（a）=2

。因为

n^c

的增长速度比你的

f（n）=n^3

慢，你会陷入第三种情况，时间复杂度是

O（n^3）

这个问题似乎离题了，因为它属于最后一个术语，与n^3相比可以忽略不计。然后使用Master定理+1。这不是望远镜，但这是一个小诡辩。