Math coq——功能功率定义

我感兴趣的是如何将Coq中的

f

定义为

n

：

基本上，作为练习，我想写下这个定义，然后确认我的

---

算法实现了这个规范<代码>归纳的定义在这里似乎合适，但我不能像上面那样把它弄清楚。什么是上述的清洁Coq实现？

归纳式

用于定义在某些操作下关闭的类型；这不是你要找的。您想要构建的是一个迭代

n

的递归函数。这可以使用

固定点

关键字来完成：

Fixpoint pow_func {A : Type} (f : A -> A) (n : nat) (a : A) : A :=
 match n with
  | O   => f a
  | S n => f (pow_func f n a)
end.

如果希望此函数的语法更好，可以引入

表示法

：

Notation "f ^ n" := (pow_func f n).

然而，请注意，这并不是一个对权力概念的良好定义：如果你撰写

f^m

和

f^n

，你不会得到

f^（m+n）

，而是

f^（1+m+n）

。要解决这个问题，您应该选择基本大小写

f^0

作为合成

id

的中性元素，而不是

f

本身。这将给你：

Fixpoint pow_func' {A : Type} (f : A -> A) (n : nat) (a : A) : A :=
 match n with
  | O   => a
  | S n => f (pow_func' f n a)
end.

---

使用gallais定义的

pow_func

函数，您可以将您的规范声明为引理，例如：

Lemma pow_func0: forall (A:Type) (f: A -> A) (x: A), pow_fun f O x = f x.

及

---

通过展开定义，证明应该是微不足道的

这是

power

函数的一个实现，这很好。然而，作为练习，我想对照我上面给出的规范检查该实现。问题是我不知道如何在Coq中形式化该规范。

Lemma pow_funcS: forall (n:nat) (A: Type) (f: A->A) (x:A), pow_fun f (S n) x = f (pow_fun f n x).