C 有效地计算两个数之和的模

我有三个

N

-位号，

A

，

B

，和

C

。我无法轻松计算

（A+B）%C

，但我可以轻松计算

A%C

和

B%C

。如果模运算是无符号的，并且我提前知道

A+B

没有环绕

N

位，那么我可以计算

（（A%C）+（B%C））%C

。但是，在模运算被签名的情况下，或者添加

A

和

B

可能导致换行的情况下，是否可以执行任何操作

似乎有人对为什么不能依靠

（（A%C）+（B%C））%C

始终工作感到困惑。以下是一个未签名的示例：

unsigned A = 0x1U;
unsigned B = 0xFFFFFFFFU;
unsigned C = 0x3U;
((A % C) + (B % C)) % C == 0x1U but (A + B) % C == 0x0U

int A = 0x1;
int B = 0xE27F9803;
int C = 0x3U;
((A % C) + (B % C)) % C == 0x1U but (A + B) % C == -2

下面是一个签名示例：

unsigned A = 0x1U;
unsigned B = 0xFFFFFFFFU;
unsigned C = 0x3U;
((A % C) + (B % C)) % C == 0x1U but (A + B) % C == 0x0U

int A = 0x1;
int B = 0xE27F9803;
int C = 0x3U;
((A % C) + (B % C)) % C == 0x1U but (A + B) % C == -2

---

在数学中，整数除法通常向下舍入到负无穷大，模的符号与“除数”的符号相同，或者等于零：-10模3=2和10模3=-2（商向下舍入到-4）。在C/C++中，整数除数为零，符号为“红利”或“分子”的符号，或为零，-10 mod 3＝-1，10 mod 3＝1（商为零到-3）。当用C/C++做有限域类型数学时，需要进行后校正，使结果与模的数学定义相匹配。例如，如果X%3=-1，则添加3，使X mod 3=+2

假设C为正数，则数学场模C由数{0，1，…C-1}组成，没有任何负数。如果C是负的（这对于模来说是不寻常的），那么这个域就是{0，-1，-2，…C+1}。假设C为正，则如果A或B为负，则仍然可以安全地使用（（A%C）+（B%C））%C，然后通过将C添加到结果中，对结果为负的情况进行后期更正。

您需要的是：

((a+b)%2^n)%c

让

其中

k=0或1

和

d<2^n

插入您得到的：

 ((k 2^n + d) % 2^n) % c = (d % 2^n) % c = d % c

取前面的表达式modulo

c

 (a + b) % c = (k 2^n + d) % c => d % c = a % c + b % c - k 2^n % c

使用

n=32

，在C中：

unsigned myMod(unsigned a, unsigned b, unsigned c)
{
     // k = 1 if the sum overflows
     unsigned k = ( a > UINT_MAX - b or b > UINT_MAX - a);

     return ( a % c + b % c -  k*(UINT_MAX%c + 1))%c;
}

myMod(0x1U,0xFFFFFFFFU,0x3U) == 0 

---

我的印象是，你的公式既适用于有符号数，也适用于无符号数。有人能提供一个反例吗？请提供一个实际的例子。另外，mod（）有许多不同的实现。例如，在JavaScript中，-10%3=-1。而数学理论和R表示-10%%3=2。你怎么称呼环绕？加法溢出？有符号的模运算是什么意思？？问题是整数加法由于截断而插入一个隐式模。@rcgldr请引用您的定义好吗？模数应该是一个正数。@Dinesh-links:-注意Knuth r=a-（floor（a/n）*n）的定义，其中floor向下舍入为负无穷大。-注意，这样一个字段的元素是模p的整数，它们是0，…，p-1（正p没有负数）。对于像APL（20世纪60年代）和Python这样的语言，模运算符结果与除数具有相同的符号（或者是零）。@Dinesh-继续，请注意，APL或Python中定义的模函数在数学上更加一致。使用整数数学：rem=（a+m*b）%b，总是为任何m、正、零或负返回相同的结果。此外，模的范围（图像）是一致的，不管输入的符号（被除数或分子），对于正b，它是{0，1，…，b-1}，对于负b，它是{0，-1，…，b+1}。@rcgldr，取Knuth的defn，对于a=-10模n=3。楼层（a/n）=4，如建议的那样，-10模块3为+2。（而且，每个mod>=0。）这与其他评论者的建议不一致。R匹配它，JavaScript不匹配，C也不匹配。所以——要么是一些混淆，要么是不一致。