Math 生成一个'；自然路径'；沿着样条线

我需要一种方法来获得沿样条曲线任意点的方向（局部x/y/z轴）。。。其中z轴始终为样条曲线切线，x/y相互垂直，z轴始终为样条曲线切线

一种常用技术是计算一个轴矢量作为切线的变化率，即

x（t）=z（t）xz（t+dt）

那么y就是

xz

然而，我不确定这是否给出了我所说的“自然”方向路径。我的意思是，想象一下，我有一根刚性的钢棒，它被弯曲成一些卷曲，然后我沿着这根钢棒推进一根柔性软管。如果摩擦力是可忽略的，“自然”路径意味着软管在任何点的扭矩都是最小的，因为它会“松开”自身以获得较低的能量状态

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有什么方法不意味着从0-t遍历样条曲线的长度，以找到给定点t处的变换吗？

您似乎在寻找-使用单位切线、法线和副法线向量移动三面体

增加。 简单的例子：

X=2*t^2-t+5

Y=t^3+t^2+2*t-1

Z=-t^3-2*Sin（t）

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X'（t）=4*t-1；X''=4

Y'=3*t^2+2*t+2；Y''=6*t+2

Z'=-3*t^2-2*Cos（t）；Z''=-6*t+2*Sin（t）

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在参数t=0时：

X'=-1；Y'=2；Z'=-2|R'|=Sqrt（1+4+4）=3

T=（-1/3，2/3，-2/3）

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等等

考虑将您的qw移动到。（很好的qw，但可能与编程无关。我没有“今天的主持人标志”）。我已经在MATLAB中完成了基本样条曲线。也许他们有一些文档（也许没有。有时文档是“略读的”）。@OlofEdler-问题是这既是数学又是编程。但是，由于游戏/图形编程中的许多主题都依赖于数学，我认为这里没有问题。我在这里看到了许多与编程相关的问题（事物的定义。编程的社会方面）。我假设一个人可能永远是程序员，不知道样条曲线是什么。我想说你的qw完全是数学，因此也许最好在别处回答。Buuut，我不太严格。请随意使用您的qw。我们对什么是正确的看法完全不同。这对我来说有点数学化了。。。它看起来与@tom10的答案非常相似，但形式化程度更高？样条曲线是如何定义的？我希望，计算曲线导数（第一和第二）是可能的。然后，您可以应用“帧的其他表达式”部分的公式，它只是一组3D点，用作第三方Catmull Rom的输入；我一直将其视为一个黑匣子，但我认为它在内部应该使用数学表示法。是的，每个Catmull Rom样条曲线都有解析表示法（这里是q（t））。我尝试了这个方法，但t和B向量不是正交的-请参见数学网站：。我认为汤姆的答案实际上涵盖了更多的实际步骤，但现在已经不存在了，有没有办法找到它？