树结构上Coq的归纳

这是一个非常基本的问题，我很抱歉，但我一直试图用Coq来证明下面的定理，但似乎不知道怎么做

(* Binary tree definition. *)
Inductive btree : Type := 
  | EmptyTree
  | Node : btree -> btree -> btree.
(* Checks if two trees are equal. *)

Fixpoint isEqual (tree1 : btree) (tree2 : btree) : bool :=
  match tree1, tree2 with
    | EmptyTree, EmptyTree => true
    | EmptyTree, _ => false
    | _, EmptyTree => false
    | Node n11 n12, Node n21 n22 => (andb (isEqual n11 n21) (isEqual n12 n22))
end.

Lemma isEqual_implies_equal : forall tree1 tree2 : btree, 
(isEqual tree1 tree2) = true -> tree1 = tree2.

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我一直在尝试在tree1和tree2上应用归纳法，但这并不能真正正确地工作。似乎我需要同时对两者应用归纳法，但不知道如何使用。

我能够用简单的归纳法证明这一点

Require Import Bool. (* Sorry! Forgot to add that the first time *)

Lemma isEqual_implies_equal : forall tree1 tree2 : btree, 
(isEqual tree1 tree2) = true -> tree1 = tree2.
  induction tree1, tree2; intuition eauto.
  inversion H.
  inversion H.
  apply andb_true_iff in H.
  intuition eauto; fold isEqual in *.
  apply IHtree1_1 in H0.
  apply IHtree1_2 in H1.
  congruence.
Qed.

(* An automated version *)
Lemma isEqual_implies_equal' : forall tree1 tree2 : btree, 
(isEqual tree1 tree2) = true -> tree1 = tree2.
  induction tree1, tree2; intuition; simpl in *;
  repeat match goal with
            | [ H : false = true |- _ ]   => inversion H
            | [ H : (_ && _) = true |- _] => apply andb_true_iff in H; intuition
            | [ IH : context[ _ = _ -> _], 
                H : _ = _ |- _]           => apply IH in H
         end; congruence.
  Qed.

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通过在

简介

之前应用

归纳

我们的归纳假设在

tree2上是多态的，这允许我们在最后的案例中使用它。
很酷，谢谢，这基本上对我有效，但我不得不做一些调整。首先，我没有定义and B_true_iff——我猜这是在某个库中，但我得到了要点，并为它建立了自己的定理（见上文）。我想我能问的最重要的问题是：当IHtree1_1和IHtree1_2都指tree2而不是像tree2_1或（Node tree2_1 tree2_2）之类的东西时，为什么我可以使用IHtree1_1和IHtree1_2？我觉得答案将被你的短语“树上的多态性2”所包围，它允许我们在最后的案例中使用它。树2没有定义吗？酷。需要导入Bool。成功了。我真的，真的是Coq的新手（你可能已经收集到了），所以像这样应该很明显的事情还没有发生。@quadelirus没有，这是我的错：）我只是从emacs复制和粘贴，没有意识到我的导入是在顶部