Logic Coq中的'true=false'是什么意思？

[我不确定这是否适用于堆栈溢出，但这里还有许多其他Coq问题，因此也许有人可以提供帮助。]

我正在从下面介绍案例的地方完成以下内容。请注意，我是一个完全的初学者在这方面，我在家工作-我不是一个学生

Theorem andb_true_elim1 : forall b c : bool,
  andb b c = true -> b = true.
Proof.
  intros b c H.
  destruct b.
  Case "b = true".
    reflexivity.
  Case "b = false".
    rewrite <- H. reflexivity.
Qed.

---

然后

重写一般来说，当你们在定理证明器中进行案例分析时，很多案例归结为“不可能发生”。例如，如果要证明有关整数的某些事实，可能需要对整数
i
是正、零还是负进行案例分析。但在你的上下文中，或者你的目标的某个部分，可能有其他假设与其中一个案例相矛盾。例如，您可能从前面的断言中知道，
i
永远不能为负

然而，Coq并不是那么聪明。因此，你仍然需要通过力学来证明，这两个相互矛盾的假设可以粘在一起，证明荒谬，从而证明你的定理

把它想象成一个计算机程序：

switch (k) {
  case X:
    /* do stuff */
    break;
  case Y:
    /* do other stuff */
    break;
  default:
    assert(false, "can't ever happen");
}

false=true
的目标是“永远不会发生”。但你不能只是在Coq中坚持你的出路。实际上你必须写下一个证明词

因此，在上面，你必须证明荒谬的目标
false=true
。你唯一需要处理的就是hyothesis
H:andb false c=true
。片刻的思考会告诉你，实际上这是一个荒谬的假设（因为对于任何
y
来说，
和b false y
都会变成false，因此不可能是真的）。因此，你用唯一可以支配的东西（即
H
）来实现目标，而你的新目标是
false=andb false c

所以你运用了一个荒谬的假设试图达到一个荒谬的目标。瞧，你最终得到了一些你可以通过反身性表现出来的东西。Qed

正式更新下面是发生的事情

回想一下，Coq中的每个归纳定义都有一个归纳原则。以下是平等归纳原则的类型和
False
命题（与
bool
类型的
False
相对）：

False
的归纳原则是，如果你给我一个
False
的证明，我可以给你一个任何命题的证明

eq
的归纳原理更为复杂。让我们把它局限在<代码> BOOL 。特别是
false
。它说：

Check eq_ind false.
eq_ind false
 : forall P : bool -> Prop, P false -> forall y : bool, false = y -> P y

因此，如果你从一个依赖于一个布尔值的命题
p（b）
开始，并且你有一个
p（false）
的证明，那么对于任何其他等于
false
的布尔值
y
，你就有了
p（y）
的证明

这听起来并不十分令人兴奋，但我们可以将其应用于我们想要的任何命题
p
。我们想要一个特别讨厌的

Check eq_ind false (fun b : bool => if b then False else True).
eq_ind false (fun b : bool => if b then False else True)
 : (fun b : bool => if b then False else True) false ->
   forall y : bool,
   false = y -> (fun b : bool => if b then False else True) y

稍微简化一下，它所说的是
True->forall y:bool，false=y->（如果y那么false，否则True）

所以这需要一个
True
的证明，然后是一个布尔值
y
，我们可以选择它。那我们就这么做吧

Check eq_ind false (fun b : bool => if b then False else True) I true.
eq_ind false (fun b : bool => if b then False else True) I true
 : false = true -> (fun b : bool => if b then False else True) true

我们在这里：
false=true->false

结合我们对
False
归纳原理的了解，我们有：如果你给我一个
False=true
的证明，我可以证明任何命题

所以回到
和b_true_elim1
。我们有一个假设
H
，即
false=true
。我们想证明某种目标。正如我在上面所展示的，存在一个证明术语，它将
false=true
的证明转化为您想要的任何证明。因此，特别是
H
是
false=true
的证明，因此您现在可以证明您想要的任何目标

这些策略基本上是建立证明项的机器。
true=false
是一个等于两个不同布尔值的语句。由于这些值是不同的，所以该语句显然是不可证明的（在空上下文中）

考虑到你的证明：你到达了目标是
false=true
的阶段，所以很明显你无法证明它。。。但问题是你的背景（假设）也是矛盾的。例如，当你进行案例分析时，经常会发生这种情况，其中一个案例与你的其他假设相矛盾。
我意识到这是老生常谈，但我想澄清Lambdageek答案背后的一些直觉（以防有人发现）

我注意到关键点似乎是我们定义了一个函数
F:bool->Prop
，在每个点上使用不同的值（即
true=>true
和
false=>false
）。然而，从平等的归纳原则
eq_ind
可以很容易地看出，直观的想法（这实际上是定义平等的“方式”）是

但这意味着从
true=false
和
I:true
，我们可以得出
false

我们在这里使用的另一个基本属性是定义
F
的能力，这是由bool的递归原则给出的，
bool\u rect
：

forall P:bool -> Type, P true -> P false -> (forall b:bool, P b)

通过选择
p:=（乐趣b:bool=>Prop）
，我们得到

(bool_rect P) : Prop -> Prop -> (bool -> Prop),

在这里，我们输入
True
和
False
以获得函数
F

如果我们把这些放在一起，我们会

(eq_ind true (bool_rect (fun b => Prop) True False) I false) : true = false -> False

还值得指出的是，Coq采用归纳/递归原则，如
eq\u ind
或
bool\u rect
作为定义标识和布尔类型的公理。
谢谢，这很有意义，但我仍然不明白如何将两个既“错误”又“荒谬”的东西结合起来以某种方式使事情变得“正确”。我可以看出它是有效的-证明公司
forall P:bool -> Prop, forall x,y:bool, (x = y) -> (P x) -> (P y),

forall P:bool -> Type, P true -> P false -> (forall b:bool, P b)

(bool_rect P) : Prop -> Prop -> (bool -> Prop),

(eq_ind true (bool_rect (fun b => Prop) True False) I false) : true = false -> False