Math 桌子上的圆点

在ACM的通信中，Peter Winkler提出了以下问题：

在我们面前的桌子上有10个点， 在我们的口袋里有10枚1美元的硬币。 证明硬币可以放在桌子上 表（没有两个重叠）在这样一个 所有点都被覆盖的方式。图形 图2显示了硬币的有效位置 对于这组特殊的点；他们 它们是透明的，所以我们可以看到它们。 底部的三枚硬币不是 需要

在报告中，他提出了他的证据：

我们必须证明一张照片上的任何10个点 这张桌子可以用 非重叠1美元硬币，有问题 由稻叶直树设计并寄给我 由他的朋友岩泽裕一和 日本的益智专家

关键是要注意填料盘 以蜂窝状覆盖物的形式布置 飞机的90%以上。但是怎么做呢 我们知道他们知道吗？半径为1的圆盘 安装在一个正六边形内 由六个等边三角形组成 高度一。因为每个三角形 面积

sqrt（3）/3

，六边形 本身具有面积

2*sqrt（3）

；自从 六边形将平面平铺成蜂窝状 模式，磁盘，每个磁盘的面积为π， 封面

π/（2*sqrt（3））

~.9069 飞机的表面

因此，如果磁盘是 在飞机上随机放置 某一点的概率 这本书的封面是.9069。因此，如果我们 随机放置大量1美元硬币 （借来的）六边形的桌子上 模式，平均来说，我们10个中有9.069个 将涵盖各点，这意味着 至少有一部分时间所有10个都是 盖满。（我们最多只需要10个 所以，把剩下的还给我。）

磁盘覆盖的是什么意思 无限平面的90.69%？最简单的回答就是说， 也许，这是任何 被磁盘覆盖的大正方形 将此值作为平方来接近 扩展。什么是随机的 磁盘的位置？单程 仔细考虑一下，修理一下包装 和其中的任何磁盘，然后选择一个 从起点均匀随机指向 包含磁盘的蜂窝六边形 并移动磁盘，使其中心位于 选择的点

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我不明白。这一证明的概率性质不只是意味着在大多数配置中，所有10个点都可以覆盖吗。我们还不能想出一个包含10个（或更少）点的配置，其中一个点无法覆盖吗？

我想我可以重新安排Winkler的论点，使其更具说服力

在一张桌子上有一排点。你也有一个由硬币粘在一起的蜂窝状图案的大模板。现在，您可以进行蒙特卡罗模拟，在随机位置（但方向始终相同）重复将蜂窝扔到桌子上，并计算覆盖点的数量。如果你得到足够的样本，你最终会发现预期的平均覆盖点数是每投9.069

关键是，如果平均值是9.069，那么一定有10个点被覆盖的投掷。因为如果你从来没有覆盖过10个点，平均值将是9或更少

所以现在你知道至少有一次投10分。你重复投掷，并移除所有没有覆盖一个点的硬币。剩下的硬币不超过10枚

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一个小题外话：对于一些巧妙的点排列，覆盖点的长程平均值是否可能不是9.069？答案是否定的，因为每个点都可以单独考虑。换句话说，在10000次蜂巢投掷中，每个圆点的预期覆盖次数为9069次。因此，我们预计总共将覆盖90690个点，平均每掷9.069个。

这是一个有趣的问题，但不幸的是，我认为它偏离了主题。这将是完美的，因为我同意移动到数学网站。如果您确实移动了它，请让我们知道问题的url:）我冒昧地在数学网站上发了这个帖子：@e.James:谢谢。搬家是个好主意，我只是有点懒。三个好的答案已经发布了（如果我自己这么说的话）；我投票决定结束，我认为这行不通。9.069是所有投掷和所有可能的点排列中覆盖的点的预期数量。对于任何给定的点排列，概率可能不同。要了解点的固定排列可能会发生变化，请注意，如果只有两个点并且它们任意靠近，则覆盖概率接近1。为了证明有效，您需要证明没有一组点的覆盖概率小于或等于9。@David，我猜你读了我的“小题外话”。我写这封信是因为我和你一样，最初认为概率可能取决于安排。假设，正如你所建议的，有两个点任意靠近。然后，如果你随机扔掉一个蜂窝，覆盖率是0.9069，而不是1。这是因为有0.0931的概率，点位于硬币和六边形边框之间的空白区域。@brainjam，是的，我同意我的例子是错误的，但我认为这一点仍然成立。特别是，我相信你的题外话中的论点假设，对于任何一组点{Pi}I>=2，投掷覆盖P1的概率与覆盖P2的概率无关。这就是从单个点的概率到所有点的概率。这似乎不太可能，同样是因为两个点彼此靠近。这里（以及文克尔的证明中）缺少的神奇词语是“期望的线性”。这就是我们用来证明的，因为每个点被覆盖的概率是0.9069，所以被覆盖的点的预期数量是9.069，即使它们不是独立的。