Math 用numpy离散化连续傅里叶变换

考虑一个函数f（t），我如何计算连续的fourier变换g（w）并绘制它（使用numpy和matplotlib）

如果傅里叶积分不存在解析解，则会出现此问题或反问题（g（w）给定，f（t）图未知）。

您可以使用，但必须做一些额外的工作。首先让我们看一下傅里叶积分并将其离散化： 这里k，m是整数，N是f（t）的数据点数。使用这种离散化，我们得到

最后一个表达式中的和正是numpy使用的离散傅立叶变换（DFT）（请参阅本节的“实现细节”）。 有了这些知识，我们可以编写以下python脚本

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pl

#Consider function f(t)=1/(t^2+1)
#We want to compute the Fourier transform g(w)

#Discretize time t
t0=-100.
dt=0.001
t=np.arange(t0,-t0,dt)
#Define function
f=1./(t**2+1.)

#Compute Fourier transform by numpy's FFT function
g=np.fft.fft(f)
#frequency normalization factor is 2*np.pi/dt
w = np.fft.fftfreq(f.size)*2*np.pi/dt


#In order to get a discretisation of the continuous Fourier transform
#we need to multiply g by a phase factor
g*=dt*np.exp(-complex(0,1)*w*t0)/(np.sqrt(2*np.pi))

#Plot Result
pl.scatter(w,g,color="r")
#For comparison we plot the analytical solution
pl.plot(w,np.exp(-np.abs(w))*np.sqrt(np.pi/2),color="g")

pl.gca().set_xlim(-10,10)
pl.show()
pl.close()

---

结果图显示，该脚本可以很好地发布问题并自己回答！如果你用这种方法计算一个（离散化的）FT，你能包括小于1的频率或者是输入数组长度的倍数的周期吗？也许你可以帮助回答这个问题：是的，对于频率到时间的傅里叶变换，你应该包括小频率，否则长时间的结果不会很好。我认为你的问题不是直接相关的，我自己也不能回答，但我认为它是相关的，因为有人在评论中建议连续变换可以是解决方案，因为它可以考虑比输入信号长的正弦。而离散变换不超过信号长度。我不知道离散化连续变换是否或如何能做到这一点，但我会调查…@Christoph90：如果你这样做，你将有相同的频率，你将计算f（t-offset）的傅里叶变换，而不是f（t）+1，所以你写一个问题，然后自己回答？是的，我读到人们被鼓励这样做。这是为数不多的numpy/matplotlib问题之一，我没有通过使用谷歌找到解决方案。所以我想我应该分享解决方案。我读到的关于回答你自己问题的那一页就在这里嗨，你能看看我的问题吗？