Math 确定目标跟随者的轨迹-追踪曲线

我已经开始为游戏服务器开发单位轨迹，现在我正在尝试在给定时间检索单位的位置。当弹道只是一条直线时很容易，但当一个单位追赶另一个单位时要复杂得多

我已经做了一些工作来说明这个问题。黑色轨迹是指在一个方向上移动的单位。蓝色追赶黑色，红色追赶蓝色。我想要的是预先计算蓝色和红色的整个轨迹，以便能够在恒定的时间内恢复它们的位置

可能吗？谢谢你的帮助

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我可以为您设置问题，但不能解决它

黑色曲线以恒定速度v0直线移动

蓝色曲线以恒定速度v1沿黑色方向移动

为简单起见，请选择坐标，以便在时间t=0时，黑色曲线从（x=0，y=0）开始并沿x方向移动

因此，在时间t>=0时，黑色曲线的位置为（v0t，0）

问题陈述

目标是在给定初始位置（x（t=0），y（t=0））的情况下，找到时间t>=0的蓝色曲线的x，y。运动微分方程是

dx/dt=v1（v0t-x）/a（t）

dy/dt=v1（-y）/a（t）

式中，a（t）=sqrt（（v0t-x）^2+（y^2））是时间t时蓝色和黑色之间的距离

这是一个由两个非线性耦合微分方程组组成的系统。似乎没有完整的分析解决方案。放弃而不尝试输入

D[y[t],t] = -y[t] / sqrt[(t-x[t])^2 + y[t]^2], D[x[t],t] = (t-x[t]) / sqrt[(t-x[t])^2 + y[t]^2]

你可以试着问下去。祝你好运

卡尔·E·芒根（Carl E.Mungan）的一篇论文解决了一个特殊的版本，在这个版本中，追逐者最初垂直于被追逐物体的轨迹。我认为这是解决方案中一个不重要的元素，因为垂直性在轨迹的其余部分消失了

它是一个微分方程的自治系统，因为时间不会显式地出现在方程的系数或项中。这支持了本文给出的解族足够一般，可以提供非垂直初始条件的观点

这篇论文提供了更多的链接和参考资料，以及一个有用的搜索词“追踪曲线”

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让我们陈述一个稍微不同的，比Mungan的更一般的初始条件。假设被追逐物体（“船”）最初位于原点，并以恒定速度V沿正y轴（x=0）向上移动。追逐物体（“鱼雷”）最初位于（x0，y0），虽然直接在“船”处进行瞬时重新定向，但也以一定的恒定速度V移动

x0为零的特殊情况会导致线性追踪曲线，即迎面碰撞或尾随追逐，因为y0为正或负。否则，通过y轴上的反射，可以假定x0>0，而不丧失一般性。因此，x坐标的有理幂将得到很好的定义

为了我们的直接目的，假设速度V，V是不相等的，因此比率r=V/V不是1。以下是与Mungan方程（10）类似的“鱼雷”曲线的封闭式解（1）：

其中常数H，C可由初始条件确定

应用鱼雷最初向原点处的船舶位置移动的条件，我们取x in（1）的导数，并从两侧取消系数1/H：

                     r        -r
dy/dx = (1/2) [ (x/H)  - (x/H)   ]                   (2)

现在，将曲线在初始点（x0，y0）处的坡度dy/dx与其通过原点的直线的坡度dy/dx相等：

      r         -r
(x0/H)  - (x0/H)   = 2y0/x0 = K                      (3)

这等于正B=（x0/H）^r的二次方程：

即B=[K+sqrt（K^2+4）]/2（但使用if K<0以避免取消错误），这允许根据我们对x0和r的了解来确定H：

H = x0/(B^(1/r))                                     (5)

知道H使得通过替换（1）中的初始点（x0，y0）来确定相加常数C变得简单

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棘手的部分是确定“鱼雷”轨道上的哪个点对应于给定时间t>0。这个问题的反问题解决得相当简单。给定轨迹上的一点，使用导数公式（2）找到该点处的切线，并从该直线的y截距b（即从当前“船舶”位置）推断时间t：

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因此，确定（x（t），y（t））在给定时间t>0时“鱼雷”位于何处基本上是一项寻根练习。人们很容易将期望的x（t）括在对应于时间t1和t2的两个x坐标x1和x2之间，使得t1 这是最有可能的，但这取决于您如何确定每个时间点的轨迹变化。从那里它应该是可行的。谢谢你的回答！在每个时间点，追逐物体的速度矢量都面对着被追逐物体。你说的“预先计算”是什么意思？只需计算两条轨迹并记录下来，然后进行查找。老实说，我不知道：）它可能通过任何可以让我在恒定时间内检索位置的东西——算法参数、方程，任何东西。记录整个轨迹是不可能的，因为它会使用太多的内存来达到可接受的精度，而且对于服务器来说也太慢。你考虑过基于微分方程的方法吗？在您的示例中，设f（t）为时间t时黑色单位的位置，g（t）为蓝色单位的位置。黑色单位线性移动，因此f（t）很简单。对于g（t），你说“在每个时间点，追逐物体的速度向量都面对着被追逐的物体。”从数学上来说，g’（t）=F（F（t），g（t））。意思是c

B^2 - K*B - 1 = 0                                    (4)

H = x0/(B^(1/r))                                     (5)

t = b/V                                              (6)