Math 计算交点的长度（通过二维栅格）

我有一条线，我必须对这条线经过的每个网格正方形进行计算

我使用了超直线算法来获得所有这些网格正方形。这给了我一个X，Y坐标数组来检查

现在，这里是我被卡住的地方，我需要能够计算通过每个网格方块的距离。。。如中所示，在不是90度角或45度角的直线上，每个网格正方形容纳不同的总直线“长度”

正如你所看到的，一些正方形比其他正方形有更多的“线长度”——这就是我需要找到的

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如何计算每个网格正方形的值？我已经做了一段时间了，请求堆栈溢出器的帮助

使用欧几里德距离

sqrt（（x2-x1）^2+（y2-y1）^2）

这给出了点（x1，y1）和（x2，y2）之间的实际距离（单位为）

你可以很简单地为每个方块找到这个

直线的斜率为m=（y2-y1）/（x2-x1）

你有一个出发点： （x1，y2）

x1+1处的y位置是什么？（即从下一个广场开始）

假设您将起点设置为0，则这条线的方程式为： y_n=mx_n

所以y_n=（y2-y1）/（x2-x1）*x_n

然后，第一个正方形处的坐标为（x1，y1），第n个点处的坐标为： （1，（（y2-y1）/（x2-x1））*1） （2，（（y2-y1）/（x2-x1））*2） （3，（（y2-y1）/（x2-x1））*3） ... （n，（（y2-y1）/（x2-x1））*n）

那么通过第n个正方形的距离是： sqrt（（x_n+1-x_n）^2+（y_n+1-y_n）^2）

看一看：“快速计算三维CT阵列的精确放射路径”

不幸的是，您需要订阅才能阅读原始论文，但在

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Siddon算法是一种O（n）算法，用于在常规2d/3d网格中查找线与每个像素/体素的交点长度。

可能有一些聪明的方法可以更快更简单地完成此操作，但您可以像这样进行操作：

你知道距离公式：s=sqrt（（x2-x1）^2+（y2-y1）^2）。若要应用此方法，必须找到直线与每个网格单元的边相交的点的x和y坐标。您可以通过将单元边界的x和y坐标插入到直线方程中，并根据需要求解x或y来实现这一点

也就是说，每个单元从某个点（x0，y0）延伸到（x0+1，y0+1）。所以我们需要求y（x0），y（x0+1），x（y0）和x（y0+1）。对于其中的每一个，找到的x或y值可能在该单元格坐标的范围内，也可能不在该范围内。具体来说，其中两个将是，两个不会。这两条线对应于线通过的边，而这两条非线则对应于线不通过的边

好吧，也许这听起来很让人困惑，让我们来看一个例子

假设你的直线有方程x=2/3*y。您想知道它与从（1,0）延伸到（2,1）的单元边相交的位置

插入x=1，得到y=2/3。2/3在y--0到1的法定范围内，因此（1,2/3）是线与该单元相交的边上的一个点。即左边缘

插入x=2，得到y=4/3。4/3超出了y的范围。因此，直线不通过右边缘

插入y=0，得到x=0。0不在x的范围内，因此该线不穿过底部边缘

插入y=1，得到x=3/2。3/2在x的法定范围内，因此（3/2,1）是上边缘的另一个交点

因此，直线与单元边缘相交的两点为（1,2/3）和（3/2,1）。将这些插入到距离公式中，您将获得通过此单元格的线段长度，即sqrt（（1-3/2）^2+（2/3-1）^2）=sqrt（1/4+1/9）=sqrt（13/36）。您可以将其近似到任何所需的精度级别

要在程序中实现这一点，您需要如下内容：（我将使用伪代码，因为我不知道您使用的是什么语言）

//假设y=mx+b
函数y（x）
返回mx+b
函数x（y）
返回（y-b）/m
//cellx、celly是单元格左下角的坐标
//因此，右上角必须是cellx+1，celly+1
函数segLength（cellx，celly）
//我们将创建两个数组pointx和pointy来保存相交点的坐标
//n是这些数组的索引
//在面向对象的语言中，我们会创建一个点对象数组，但不管怎样
n=0
y1=y（单元X）
如果y1>=celly，y1=celly，y2=cellx，x1=cellx，x2是的，我想过这样做，但这能在每个网格正方形上工作吗？（假设我把小数保留在？）-我的意思是，我的算法只计算整数网格平方。我是否也需要将其更改为十进制计算？我知道这可以解决我的问题，但我想要的是更简单的方法。那应该是
^2
（或
**2
，取决于你的符号）而不是
*2
。这是计算二维平面上两点之间实际距离的最佳方法。是的，问题是我只知道起点和终点，而不知道中间点，我相信Siddons算法更接近我所需要的。我明白了。感谢您更全面地解释这一点。我将尝试实现这一点，看看我能做到什么。非常感谢，我花了大约3个小时让它正常工作，但这主要是计算坡度的问题（使用的是起点和终点，而不是实际的直线点），我不知道如何计算Y截距。一旦我开始了，我还必须复制你的代码块，包括cellX-1和Y-1，因为我有多个方向的行。非常感谢！
// Assuming y=mx+b

function y(x)
  return mx+b

function x(y)
  return (y-b)/m

// cellx, celly are co-ordinates of lower left corner of cell
// Upper right must therefore be cellx+1, celly+1
function segLength(cellx, celly)
  // We'll create two arrays pointx and pointy to hold co-ordinates of intersect points
  // n is index into these arrays
  // In an object-oriented language, we'd create an array of point objects, but whatever
  n=0
  y1=y(cellx)
  if y1>=celly and y1<=celly+1
    pointx[n]=cellx
    pointy[n]=y1
    n=n+1
  y2=y(cellx+1)
  if y2>=celly and y2<=celly+1
    pointx[n]=cellx+1
    pointy[n]=y2
    n=n+1
  x1=x(celly)
  if x1>=cellx and x1<=cellx+1
    pointx[n]=x1
    pointy[n]=celly
    n=n+1
  x2=x(celly+1)
  if x2>=cellx and x2<=cellx+1
    pointx[n]=x2
    pointy[n]=celly+1
    n=n+1
  if n==0
    return "Error: line does not intersect this cell"
  else if n==2
    return sqrt((pointx[0]-pointx[1])^2+(pointy[0]-pointy[1])^2)
  else
    return "Error: Impossible condition"