Matrix 几何矩阵共线性证明

假设我有一个n=4，m=5的矩阵

 1  2  3  4  5
 6  7  8  9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20

假设我有一条从（1,2）点到（4,5）点的对角线。我有一个点P（3,4）。如何在算法中检查P是否在对角线上？

TL；DR

与其说是n×m矩阵，不如把它想象成x-y网格。你可以在网格上得到一条直线的方程，一旦你得到了这个方程，你就把你感兴趣的点的

x

坐标放入你的方程中。如果从等式计算的

y

值与正在检查的点的

y

坐标匹配，则该点位于直线上

---

但是我怎么学数学呢？

首先是一些快速的术语。在本例中，我们有3个关注点——定义直线的两点（或OP称之为“对角线”），以及我们要检查的一点。我将用数字

1

和

2

指定“对角线”点的坐标，我们要用字母

I

检查的点。另外，对于我们后面需要做的数学，我需要分别处理点的水平坐标和垂直坐标，我将使用n-by-m约定来进行处理。因此，当我在下面的等式中写入

n1

时，这是用于定义对角线的第一个点的

n

坐标（即您在示例中给出的点（1,2）的

1

部分）

我们要找的是网格上的直线方程。该方程的形式为

n=（斜率）*m+（截距）

好的，现在我们已经考虑了定义，我们可以写方程了。解决问题的第一步是找到直线的斜率。这将是垂直坐标的变化除以定义直线的两点之间的水平分量的变化（so

（n2-n1）/（m2-m1）

）。使用示例中的值，这将是

（4-1）/（5-2）=3/3=1

。请注意，由于您在这里进行除法运算，您的答案可能不是整数，因此在使用最终使用的任何编程语言声明变量时，请务必记住这一点-此步骤中的无意舍入可能会在以后将事情搞砸

一旦我们有了斜率，下一步就是计算截距。我们可以通过将斜率和

m

和

n

坐标插入到我们试图得到的直线的方程中来实现这一点。所以我们从方程开始

n1=（斜率）*m1+（截距）

。我们可以将这个方程重新排列为

（截距）=n1-（斜率）*m1

。插入示例中的值，我们得到

（intercept）=1-（1*2）=-1

现在我们有了直线的一般方程，对于我们的例子，它是

n=（1）*m+（-1）

现在我们有了

（斜率）

和

（截距）

，我们可以插入任何我们想要检查的点的坐标，看看这些数字是否匹配。我们的示例点有一个

m

坐标

4

，因此我们可以将其插入到方程中

n=（1）*（4）+（1）=3

由于我们使用方程计算的

n

坐标与我们示例中点的

n

坐标匹配，因此我们可以说样本点确实落在直线上。

假设我们还想检查点（2,5）是否也在直线上。当我们把那个点的

m

坐标插入我们的方程，我们得到

n=（1）*（5）+（1）=4

---

由于我们用等式（

4

）计算的

n

坐标与我们检查的点（

2

）的

n

坐标不匹配，我们知道该点不在直线上。

如何找到m和b？注意，这些计算只取决于网格的坐标，而不是网格坐标处的值（因此示例中的值如

16 17 18 19 20

从未用于任何此类计算）