Algorithm 如何计算设置了k位且存在c位值变化的大小为n的位序列的数量？

我们知道，用k个比特集计算n个长度的比特序列的数目等于C（n，k）=n/（k！（n-k）！）*

但我最近问自己，一旦设置了另一个条件：比特值的数量发生变化，你怎么能考虑这个问题。例如，对于n=4和k=2，我们有6个解决方案：

1-0011

2-0101

3-0110

4-1001

5-1010

6-1100

现在假设我们只想得到位值有两个变化的序列。现在只有两种解决方案：

1-0110（从0开始，更改为1，之后更改为0）。 2-1001（从1开始，更改为0，之后更改为1）

如何快速计算解决方案的数量（无需生成每个组合和计数）？我认为一个人可以把最初的一点算作一个改变，而不会对答案做太多的改变，所以请随意去做

额外问题：给定一个具有k位集和c位数变化的组合，用相同数量的k位集和c位数变化生成下一个组合的最快方法是什么？

这是一个问题。从交替的

0

s和

1

s序列开始，进行所需的位数更改，然后将剩余的

0

s和

1

s放入URN

示例：

n=20

，

k=8

，

c=4

考虑双串从

0

开始的情况。从

（c+1）

交替位开始，以获得

c

更改：

01010

此时，您仍然需要放置9

0

s和6

1

s。让我们先放置

0

s。在不添加任何位更改的情况下，我们可以用多少种方式放置剩余的9个

0

s？有3个“骨灰盒”用于放置“球”（

0

s）：

有

（9+3-1）选择3种方法将9个球放入3个骨灰盒中

放置
0
s后，我们还需要放置
1
s。通过类似的推理，我们有6个球（
1
s）放置在2个骨灰盒中，可以通过
（6+2-1）选择2种方式来完成

由于
0
s和
1
s的排列是独立的，因此我们将结果相乘：假设从
0开始，长度为20位的字符串有4位更改，则有
（（9+3-1）选择3）*（（6+2-1）选择2）
方式

您仍然需要添加剩余的情况（从
1
开始，因此第一步的结果是
10101
），这可以用完全相同的方法解决。
假设我们有一行
n
不可区分的对象，比如红色的球。有多少种方法可以将它们划分为
k
非空组？这很容易，对吧？第一个组从第一个对象开始，其他每个组都必须从不同的对象开始。因此，我们可以通过选择第一个对象和
n-1
剩余对象的
k-1
来构造一个分区，这可以通过
C（n-1，k-1）
不同的方式来实现

现在假设我们有另一行
m
不可区分的对象，比如蓝球，我们想把它们分成
j
组。但这是完全相同的问题，解决方案必须是
C（m-1，j-1）

好，现在假设我们要构造一行对象，其中
n
为红色，
m
为蓝色，其中总共有
c
组在红色和蓝色之间交替。现在，有两种可能性：

这一排将以一个红色的球开始。如果
c
为偶数，则将有
c/2
红色组与
c/2
蓝色组交错。如果
c
为奇数，则红色组将比蓝色组多出一个，因此将有
ceil（c/2）
红色组和
地板（c/2）
蓝色组。（如果
c
是偶数，那么
floor（c/2）
和
ceil（c/2）
都是
c/2
。因此我们可以在这两种情况下使用floor和ceil公式。）

在任何情况下，我们都可以将红色的球分成组，将蓝色的球单独分成组，然后将它们交错。因此有
C（n-1，celi（C/2）-1）×C（m-1，floor（C/2）-1）
可能的安排

这一排将以一个蓝色的球开始。完全相同的分析适用，除了
n
和
m
相反

因此，安排的总数为：

C(n - 1, ceil(c/2) - 1) × C(m - 1, floor(c/2) - 1) +
C(n - 1, floor(c/2) - 1) × C(m - 1, ceil(c/2) - 1)

这只是对你的问题的重写，它有
k
个1和
n-k
个0，有
c-1
个转变（这导致
c
组）。我将把剩下的代数步骤留给读者（以及奇数组计数的简化）。
通过两位更改，最小序列是：101和010。然后是分配多余的1和0的问题。例如，以n=10k=4c=2为例。从101开始，有两个多余的1和五个多余的0。只有一个地方可以放0。多余的1可以以三种不同的方式放置：开始时为零，结束时为二，或一加一，或开始时为二，结束时为一。所以从101开始只有三种可能性：10000001111110000001111000000001。这不是一个真正的编程问题，不是吗？这正是我经过思考直到现在才发展出来的。对于奇数c，有没有比2*c（n-1，c/2-1）*c（m-1，c/2-1）更好的进一步简化方法？@eduard：首先计算较小的二项式，这样可以避免重复两次相同的乘法
C(n - 1, ceil(c/2) - 1) × C(m - 1, floor(c/2) - 1) +
C(n - 1, floor(c/2) - 1) × C(m - 1, ceil(c/2) - 1)