Math Haskell函子隐含定律

说：

“类似的论证还表明，任何满足第一定律（fmap id=id）的函子实例也将自动满足第二定律。实际上，这意味着只有第一定律需要检查（通常通过非常简单的归纳法），以确保函子实例有效。”

如果是这样，为什么我们还要提到第二函子定律

Law 1: fmap id = id
Law 2: fmap (g . h) = (fmap g) . (fmap h)

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我要说的是，第二定律并不是出于有效性的原因而被提及的，而是作为一项重要的财产：

第一定律说，在每个项目上映射标识函数 在容器中没有效果。第二种说法是映射 容器中每个项上的两个函数的组合是 与先映射一个函数，然后映射另一个函数相同。 ---类型分类视界

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（我不明白为什么第一定律意味着第二定律，但我不是一个熟练的哈斯凯尔人——当你知道发生了什么事情时，这可能是显而易见的）

似乎人们意识到第二定律源于第1定律。因此，当文档最初编写时，它可能被认为是一个独立的需求

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（就我个人而言，我不相信这一论点，但由于我自己还没有时间解决细节问题，我在这里表示怀疑。）

虽然我不能给出证据，但我相信这是说，由于类型系统执行第二定律，只要第一定律成立。指定这两个规则的原因是，在更一般的数学设置中，您可能有一些类别C，其中完全可以定义从C到自身的“映射”（即Obj（C）和Hom（C）上的一对内函数）它遵守第一条规则，但不遵守第二条规则，因此不能构成函子

请记住，Haskell中的

函子

s是类Hask上的内函子，甚至在数学上被认为是Hask上的内函子的一切都不能用Haskell表示。。。参数多态性的约束排除了能够为其映射的所有对象（类型）指定行为不一致的函子的可能性

基于此，普遍的共识似乎是，对于Haskell

函子

实例，第二定律遵循第一定律。爱德华·克米特

给定

fmap id=id

，

fmap（f.g）=fmap f。fmap g

遵循免费 fmap定理

很久以前，这篇文章作为旁白发表在一篇论文中，但我忘了在哪里

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使用

seq

，我们可以编写满足第一条规则但不满足第二条规则的实例

data Foo a = Foo a
    deriving Show

instance Functor Foo where
    fmap f (Foo x) = f `seq` Foo (f x)

我们可以验证这是否满足第一定律：

fmap id (Foo x)
= id `seq` Foo (id x)
= Foo (id x)
= Foo x

但是，它违反了第二条定律：

> fmap (const 42 . undefined) $ Foo 3
Foo 42
> fmap (const 42) . fmap undefined $ Foo 3
*** Exception: Prelude.undefined

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也就是说，我们通常忽略这种病理情况。

您提供的链接似乎是关于

函子

实例的唯一性，而不是第一定律暗示第二定律。。。关于后者。不要对自己太苛刻——这并没有那么明显。这里有一篇关于从自由定理到第二个Fnuctor定律的更详细的文章，@David有一个拼写错误：“Fnuctor”->“Functor”注意，当你在涉及底部值的不同行为之间用seq进行区分时，你是在“破解”类型系统。haskell类型构成Hask类别，如果不包括底部，则函数为态射。如果在图片中包含底部，类似于您的操作会显示结果结构不是类别（关联性失败），因此谈论函子也没有意义