Algorithm 如何计算和存储sqrt（n）的数字，最多10^6位小数？

我在做研究工作。我需要计算并存储2到10^6个位置的平方根。我在谷歌上搜索过这个，但我只得到了一个NASA页面，但他们是如何计算的，我不知道。我用C++的SETIO精度。但这只能让结果达到大约50个位置。我该怎么办

美国宇航局网页链接： 我也尝试过二进制搜索，但没有成功

long double ans = sqrt(n);
cout<<fixed<<setprecision(50)<<ans<<endl;

long-double-ans=sqrt（n）；
cout您可以使用大整数，例如Java中的BigInteger。然后计算2e12或2e14的平方根。请注意，sqrt（2）=1.4142。。。和sqrt（200）=14.142。。。然后你可以用巴比伦的方法得到所有的数字：例如S=10^14。x（n+1）=（x（n）+S/x（n））/2。重复此步骤，直到x（n）不变。也许有更高效的算法收敛得更快。
这里有各种选择。您可以使用任意精度浮点库（例如用C或C++，或Python中的内置库）。若您知道库中给出的错误保证，则可以确保获得正确的十进制数字。例如，MPFR和Python的
decimal
在这里都能保证正确的舍入，但MPFR的缺点是（对于获取十进制数字的特定用例）它是二进制的，因此您还需要分析由二进制到十进制转换引起的错误

您还可以使用纯整数方法，使用任意精度整数库（如），或支持任意精度的现成整数的语言（例如，Java及其BigInteger类：Java的最新版本提供了一种方法）：scale
2
by
10**2n
，其中，
n
是小数点后所需的位数，取整数平方根（即精确数学平方根的整数部分），然后按
10**n
缩小。有关计算整数平方根的相对简单但有效的算法，请参见下文

如果您愿意使用另一种语言，这里最简单的开箱即用选项是使用Python的
decimal
库。这里是您所需要的所有代码，假设是Python 3（而不是Python 2，在Python 2中速度会非常慢）

str（Decimal（2）.sqrt（））
操作在我的机器上花费的时间不到10秒。让我们检查长度，以及前一百位和后一百位数字（我们显然不能在这里复制整个输出）：

这有一个小问题：结果保证是正确的四舍五入，但这是四舍五入的，而不是截断的。这意味着最后的“4”位可能是最后一次四舍五入的结果，也就是说，该位置的实际数字可能是“3”，后面是“8”或“9”（例如）

我们可以通过计算两个额外的数字来解决这个问题，然后对它们进行截断（在仔细检查这些额外数字的舍入是否影响截断后）

因此，小数点后的第一百万位数实际上是3，而不是4。请注意，如果上面计算的最后3个数字是“400”，我们仍然不知道第一百万个数字是“3”还是“4”，因为“400”可能再次是一个四舍五入的结果。在这种情况下，您可以计算另外两个数字并重试，以此类推，当您有明确的输出时停止。（欲进一步阅读，请搜索“制表者的困境”。）

（请注意，将
decimal
模块的舍入模式设置为
ROUND_DOWN
在此处不起作用，因为
decimal.sqrt
方法忽略舍入模式。）

如果您想使用纯整数算术来实现这一点，Python3.8提供了一个
math.isqrt
函数来计算精确的整数平方根。在这种情况下，我们将按如下方式使用它：

>>> from math import isqrt
>>> sqrt2_digits = str(isqrt(2*10**(2*10**6)))

这需要更长的时间：在我的笔记本电脑上大约20秒。其中一半时间用于
str
调用中隐含的二进制到十进制转换。但这一次，我们直接得到了截断的结果，不必担心四舍五入会给我们带来错误的最终数字

再次检查结果：

>>> len(sqrt2_digits)
1000001
>>> sqrt2_digits[:100]
'1414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572'
>>> sqrt2_digits[-100:]
'2637136344700072631923515210207475200984587509349804012374947972946621229489938420441930169048412043'

这有点骗人，因为（在撰写本文时）Python 3.8尚未发布，尽管是beta版。但是在中有一个纯Python版本的
isqrt
算法，您可以直接复制、粘贴和使用。全文如下：

import operator

def isqrt(n):
    """
    Return the integer part of the square root of the input.
    """
    n = operator.index(n)

    if n < 0:
        raise ValueError("isqrt() argument must be nonnegative")
    if n == 0:
        return 0

    c = (n.bit_length() - 1) // 2
    a = 1
    d = 0
    for s in reversed(range(c.bit_length())):
        # Loop invariant: (a-1)**2 < (n >> 2*(c - d)) < (a+1)**2
        e = d
        d = c >> s
        a = (a << d - e - 1) + (n >> 2*c - e - d + 1) // a

    return a - (a*a > n)

导入操作符
def isqrt（n）：
"""
返回输入平方根的整数部分。
"""
n=运算符索引（n）
如果n<0：
raise VALUERROR（“isqrt（）参数必须为非负”）
如果n==0：
返回0
c=（n.位长度（）-1）//2
a=1
d=0
对于反转的s（范围（c.位长度（））：
#循环不变量：（a-1）**2<（n>>2*（c-d））<（a+1）**2
e=d
d=c>>s
a=（a>2*c-e-d+1）//a
返回一个-（a*a>n）

源代码还包含对上述算法的解释以及对其正确性的非正式证明

您可以检查上述两种方法的结果是否一致（以第一个结果中额外的小数点为模）。它们是由完全不同的方法计算的，因此这两种方法都可以作为健全性检查。
欢迎使用堆栈溢出。您是只想要一个算法（如在标记中）还是想要代码？你想使用C++还是其他语言也合适？答案是使用库还是需要基本代码？牛顿的迭代有什么问题吗？相关@conditionalMethod:啊，没有。我在Python标准库中使用了
math.isqrt
，这是Python 3.8中的新版本（严格地说，它还没有发布）。顺便说一句，“运行时间是整数位长度中的线性时间”的说法对于PyPI isqrt包显然是错误的。@MarkDickinson我忘了说谢谢。事实上，我是为你找的
>>> from math import isqrt
>>> sqrt2_digits = str(isqrt(2*10**(2*10**6)))

>>> len(sqrt2_digits)
1000001
>>> sqrt2_digits[:100]
'1414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572'
>>> sqrt2_digits[-100:]
'2637136344700072631923515210207475200984587509349804012374947972946621229489938420441930169048412043'

import operator

def isqrt(n):
    """
    Return the integer part of the square root of the input.
    """
    n = operator.index(n)

    if n < 0:
        raise ValueError("isqrt() argument must be nonnegative")
    if n == 0:
        return 0

    c = (n.bit_length() - 1) // 2
    a = 1
    d = 0
    for s in reversed(range(c.bit_length())):
        # Loop invariant: (a-1)**2 < (n >> 2*(c - d)) < (a+1)**2
        e = d
        d = c >> s
        a = (a << d - e - 1) + (n >> 2*c - e - d + 1) // a

    return a - (a*a > n)