Algorithm 我的函数是O（n！），还是O（（n-1）！）更精确？

我已经为旅行推销员问题编写了一个蛮力搜索算法，并对其进行了测试，以查看不同数量的“城市”所需的时间。从下图中，我们可以看到时间大致与

（n-1）成正比其中
n
是“城市”的数量。它与
n不成正比（毕竟，
（n-1）！=n！/n
）

我的问题是，说算法在
O（n！）
中运行还是说
O（（n-1）！）
更好？我以前从未见过后者，但它似乎更准确。我好像误解了什么


[t=所用时间，n=城市数量]
O（n！）
就足够了
n
或
n-1
对大型
n
没有影响

看
例如
 根据定义，O（f（n））是由f（n）渐近支配的所有函数的集合，即所有函数g（n）的集合，其中有常数C和n_0，使得

g(n) < C * f(n)   for all n > n_0

g（n）n\u 0

根据这个定义，O（n！）实际上是O（（n-1）！）的超集，因为函数f（n）=n！是第一个集合的成员，但不是第二个集合的成员。这两套实际上并不相同

不过，说你的问题是O（n！）是正确的，因为这只说明了一个上边界。说你的问题是ϴ（n！）是不正确的，因为这表示常数因子的精确渐近行为

实践中没有大的区别，正如另一个答案所指出的，你可以重新定义n，表示城市数量减去1。
你可以简单地证明如下：

O（（n-1）！）表示存在常数c，例如：

算法步骤（或时间复杂度）1

因此，由于for complexity函数的算法保持不变：
算法步骤（或时间复杂度）
你的算法也是O（n！）

因此，我们证明了如果算法的时间复杂度是O（（n-1）！），那么它也是O（n！）。
Sven Marnach的答案非常好，我只想在这一部分详细说明一下：

还是我说O（（n-1）！）更好

正如其他人所说，
O（n）
通常已经足够好了。如果您确实想了解有关问题的更多信息，您可以尝试查找并证明：


下限（通常用
Ω（n）
表示）
严格的上限

下界基本上是说，在某些假设下，不可能有算法渐近更快地解决问题。紧上界是与下界匹配的上界，即，必须证明
Ω（f（n））
的下界和
O（f（n））
的上界。如果你能证明一个下界和一个紧上界，这意味着你的算法是这个问题的渐近最优算法

举一个具体的例子：你肯定知道像merge-sort或quick-sort这样的排序算法，以及它们的上界
O（n logn））
。Donald Knuth（几十年前）指出，基于比较的整数排序算法至少需要
n logn
比较，即
Ω（n logn）
操作。因为我们有一个匹配的上界，合并排序和快速排序都被认为是渐近最优的（尽管它们的性能在实践中有很大的不同）。
比如，一个大值是
n=100
，然后
O（n！）=9.33*10^157
，其中
O（（n-1）！=9.33*10^155
。你认为这两者之间没有区别吗？？）它们都是“大得像地狱一样，无论如何都不能用于大n”。所以，事实上没有区别：）这两个数字都比宇宙中估计的原子数（仅为10^81）还要大。@jbsu32，这简直是胡说八道
O（…）
是一类函数，不能等于数字。是的，
O（10n）=O（n）
，所以对于
O
-符号，
O（f（n））
是一类函数，类似于偶数或可微函数，在
3990万
和
360万
之间没有区别。@jbsu32，
O（f（n））
是一类函数。斯文（或在数学书中）解释了这门课的具体内容。如果我们把类看作是属于这个类的所有函数的集合（共同概念），那么是的，
O（10n）=O（n）=O（10^100n）
，因为它们的元素是相同的。@jbsu32，O（10n）总是等于O（n），因为我们不关心常数因子这个答案使用了正确的方法。事实上，人们通常有
O（f（n））=O（f（n-1））
——例如，如果
f
是多项式或指数，这是正确的。然而，如上所述，并非所有函数都是如此：我们有
limn/（n-1）！=lim n=infty
表示
n->infty
。对。我不太同意
f（n）
和
f（n-1）
之间的“在实践中没有大的区别”——当函数的增长速度和阶乘一样快的时候就不行了！这样，可以说任何Θ（n！）算法只适用于非常小的输入；你永远不会有机会把
n
做得太大，以至于一个或多或少都是无关紧要的。“你可以重新定义n来表示城市数量减去一。”这是一个坏主意，因为这会导致混乱。为什么不把它定义为sqrt（| cities |）？Big-O符号的可能重复并不是为了实际提供算法的计算，而是为了提供它们之间的抽象比较方法。算法的最终行为是阶乘-它恰好是+1或-1这一事实无关紧要。